Question

Докажите что 17^n-1 кратно 16 с подробными обьяснениями.По формуле разложения на множители выражений видаA^n-B^n и A^n+B^n.Даю 70 баллов.

Answer 1

$17^n-1=(17-1)(17^{n-1}+17^{n-2}+...+17+1)$

Видим, что первый множитель 17-1=16, т.е. делится на 16, а значит всё виражение тоже кратно 16

Answer 2

Чтобы доказать, что 17^n - 1 кратно 16, воспользуемся формулой разложения на множители выражения вида a^n - b^n. Формула разложения на множители для выражения a^n - b^n: a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + ... + ab^(n-2) + b^(n-1)) Применяя эту формулу к выражению 17^n - 1: 17^n - 1 = (17 - 1)(17^(n-1) + 17^(n-2) * 1 + 17^(n-3) * 1^2 + ... + 17 * 1^(n-2) + 1^(n-1)) Упростим это выражение: 16 * (17^(n-1) + 17^(n-2) + 17^(n-3) + ... + 17 + 1) Видно, что второй множитель в скобках представляет собой сумму всех степеней числа 17 от 0 до (n-1), включая. Таким образом, это арифметическая прогрессия. Формула суммы арифметической прогрессии: S = (n/2)(a + b), где S - сумма прогрессии, n - количество членов прогрессии, а - первый член прогрессии, b - последний член прогрессии. Применяя эту формулу к нашему случаю, где количество членов равно n и первый и последний члены равны 1 и 17 соответственно: S = (n/2)(1 + 17) = (n/2)(18) = 9n Таким образом, 17^n - 1 можно представить в виде: 16 * (17^(n-1) + 17^(n-2) + 17^(n-3) + ... + 17 + 1) = 16 * 9n Это выражение очевидно кратно 16, потому что 9n - это целое число (так как n - целое). Таким образом, мы доказали, что выражение 17^n - 1 кратно 16.