Question

Выделить полный квадрат левой части уравнения. Не решая уравнения,найти сумму квадратов и сумму кубов его корней 5х в квадрате - 9х+4=0

Answer 1

За теоремою Вієта $x_1+x_2=1{,}8;~~ x_1x_2=0{,}8.$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1{,}8^2-2\cdot 0{,}8=1{,}64$

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)=1{,}8\cdot (1{,}64-0{,}8)=1{,}512$

Answer 2

Для выделения полного квадрата из левой части уравнения, нужно выполнить операцию дополнения квадрата. Для этого нужно взять половину коэффициента при x, возвести в квадрат и добавить и вычесть это число к уравнению. В данном случае коэффициент при x равен 5, значит половина этого числа равна 2.5. Возведем это число в квадрат: 2.5^2 = 6.25. Добавим и вычтем это число к уравнению: 5x^2 - 9x + 6.25 - 6.25 = 0 Теперь левая часть уравнения представлена как полный квадрат: (5x - 2.5)^2 = 6.25 Найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: 5x - 2.5 = ±√6.25 Далее решим два уравнения полученных: 1) 5x - 2.5 = √6.25 5x = √6.25 + 2.5 5x = 2.5 + 2.5 5x = 5 x = 1 2) 5x - 2.5 = -√6.25 5x = -√6.25 + 2.5 5x = -2.5 + 2.5 5x = 0 x = 0 Таким образом, найдены два корня уравнения: x = 1 и x = 0. Теперь найдем сумму квадратов и сумму кубов этих корней: Сумма квадратов: (1^2) + (0^2) = 1 + 0 = 1 Сумма кубов: (1^3) + (0^3) = 1 + 0 = 1 Итак, сумма квадратов корней равна 1, а сумма кубов равна 1.