Question

найти промежутки возрастания функций y=(-3)x^3+9x^2+21x

Answer 1

Нахождение промежутков возрастания функции сводится к задаче нахождения таких значений Х, при которых производная от исходной функции будет больше 0.

Значит нам надо взять производную:

$y'=(-3x^3+9x^2+21x)'=-9x^2+18x+21$ 

Теперь осталось решить неравенство:

$-9x^2+18x+21>0$

найдем сначала корни уравнения:

 $-9x^2+18x+21=0 \\ D=18^2-4\cdot (-9) \cdot 21=324+756=1080 \\ x_{1.2}=\frac{-18 ^+_- \sqrt{1080}}{-18} \\ x_1=\frac{-18-6\sqrt{30}}{-18}= \\ =\frac{-6(3+\sqrt{30})}{-18}= \\ =\frac{3+\sqrt{30}}{3} \\ x_2=\frac{3-\sqrt{30}}{3}$

Это была парабола ветви которой направлены вниз, потому что перед $x^2$  стиот отрицательный коэффициент. Значит промежуток где  $-9x^2+18x+21>0$ лежит между ее корней, значит и промежуток возрастания исходной функции лежит между ее корней.

Таким образом: функция возрастает на интервале: $x \in (\frac{3-\sqrt{30}}{3};\frac{3+\sqrt{30}}{3})$ 

Ответ: функция возрастает на интервале: $x \in (\frac{3-\sqrt{30}}{3};\frac{3+\sqrt{30}}{3})$ 

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания функции y = (-3)x^3 + 9x^2 + 21x, мы должны найти значения x, при которых производная функции положительна. Затем мы можем использовать эти значения x для определения интервалов возрастания.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y по переменной x. Используя правила дифференцирования, мы получим:

y' = d/dx [(-3)x^3 + 9x^2 + 21x] = -9x^2 + 18x + 21

Нахождение точек, где производная положительна

Для определения точек, где производная положительна, мы должны решить неравенство:

-9x^2 + 18x + 21 > 0

Решение неравенства

Для решения данного квадратного неравенства, мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства. Сначала найдем корни уравнения -9x^2 + 18x + 21 = 0:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (18)^2 - 4(-9)(21) = 324 - (-756) = 1080 Корни уравнения: x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (18 ± √1080) / -18

x1 = (18 + √1080) / -18 ≈ -0.63 x2 = (18 - √1080) / -18 ≈ 3.63

Теперь мы можем построить таблицу знаков для функции y' и проверить знаки на разных интервалах:

| x | (-9x^2 + 18x + 21) | |-----|-------------------| | -∞ | + | | -0.63 | - | | 3.63 | + | | +∞ | + |

Определение интервалов возрастания

Исходя из таблицы знаков, мы можем определить интервалы возрастания функции y = (-3)x^3 + 9x^2 + 21x:

1. Отрицательные значения x: (-∞, -0.63) 2. Положительные значения x: (3.63, +∞)

Таким образом, функция y = (-3)x^3 + 9x^2 + 21x возрастает на интервалах (-∞, -0.63) и (3.63, +∞).