Question

Помогите разложить на множители: (y-z)(y+z)^2+(z-x)(z+x)^2+(x-y)(x+y)^2

Answer 1

(y-z)(y+z)^2+(z-x)(z+x)^2+(x-y)(x+y)^2=

(x^2-y^2)(x+y)+(y^2-z^2)(y+z)+(z^2-x^2)(z+x)=

x^3-xy^2+x^2y-y^3+y^3-z^2y-y^2z-z^3+z^3-x^2z-z^2x-x^3=

x^2y-x^2z-xy^2+xz^2+y^2z-yz^2=

xy(x-y)+z^2(x-y)-z(x^2-y^2)=

(x-y)(xy+z^2-z(x+y))=

(x-y)(xy+z^2-zx-zy)=

(x-y)(y(x-z)-z(x-z))=

(x-y)(x-z)(y-z)

Answer 2

Для начала разложим каждое слагаемое на множители по формуле квадрата суммы: (y - z)(y + z)^2 = (y - z)(y^2 + 2yz + z^2) = y^3 - y^2z + 2y^2z - 2yz^2 + yz^2 - z^3 = y^3 - y^2z + 3y^2z - z^3 (z - x)(z + x)^2 = (z - x)(z^2 + 2zx + x^2) = z^3 - zx^2 + 2z^2x - 2zx^2 + x^2z - x^3 = z^3 - zx^2 + 3z^2x - x^3 (x - y)(x + y)^2 = (x - y)(x^2 + 2xy + y^2) = x^3 - xy^2 + 2x^2y - 2xy^2 + y^2x - y^3 = x^3 - xy^2 + 3x^2y - y^3 Теперь сложим полученные разложения: (y^3 - y^2z + 3y^2z - z^3) + (z^3 - zx^2 + 3z^2x - x^3) + (x^3 - xy^2 + 3x^2y - y^3) Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: y^3 + z^3 + x^3 - y^2z + 3y^2z + 3z^2x - zx^2 + 3x^2y - xy^2 - y^3 Теперь сгруппируем слагаемые по степеням переменных: (y^3 - y^3) + (z^3 - y^2z) + (x^3 - zx^2) + (3y^2z + 3z^2x + 3x^2y) Заметим, что первые три скобки представляют собой разность кубов, а последняя скобка является суммой трех одночленов. (y - z)(y^2 + yz + z^2) + (z - x)(z^2 + zx + x^2) + (x - y)(x^2 + xy + y^2) + 3(yz^2 + zx^2 + xy^2) Таким образом, исходное выражение (y - z)(y + z)^2 + (z - x)(z + x)^2 + (x - y)(x + y)^2 разлагается на множители: (y - z)(y^2 + yz + z^2) + (z - x)(z^2 + zx + x^2) + (x - y)(x^2 + xy + y^2) + 3(yz^2 + zx^2 + xy^2)