Question

Помогите!срочно! найдите все общие корни уравнений 5cos2x+2cosx-3=0 и sin2x+14cos^2x-8=0

Answer 1

$1) \\ 5 \cos(2x) + 2 \cos(x) - 3 = 0 \\ 5(2 \cos {}^{2} (x) - 1) + 2 \cos(x) - 3 = 0 \\ 10 { \cos {}^{2} ( x) } - 5 + 2 \cos(x) - 3 = 0 \\ 10 \cos {}^{2} (x) + 2 \cos(x) - 8 = 0 \\ 5 \cos {}^{2} (x) + \cos(x ) - 4 = 0 \\ d = 1 + 4 \times 4 \times 5 = 81 = {9}^{2} \\ \cos(x) = \frac{ -1 ±9}{10} = - 1 ;\frac{4}{5} \\ x = \pi + 2\pi \: k \: \\ x = ±arccos( \frac{4}{5} ) + 2\pi \: k$
$\sin(2x) + 14 \cos {}^{2} (x) - 8 = 0 \\ 14 \cos {}^{2} (x) + 2 \sin(x) \cos(x) - 8 \cos {}^{2} (x) - \sin {}^{2} (x) = 0 \\ 6 \cos {}^{2} (x) + 2 \sin(x) \cos(x) - 8 \sin {}^{2} (x) = 0 \: \: / \div \cos {}^{2} (x) \\ 6 + 2 \tan(x) - 8 \tan {}^{2} (x) = 0 \\ 8 \tan {}^{2} (x) - 2 \tan(x) - 6 = 0/ \div 2 \\ 4 \tan {}^{2} (x) - \tan(x) - 3 = 0 \\ d = 1 + 4 \times 3 \times 4 = 49 = {7}^{2} \\ \tan(x) = \frac{1±7}{8} = 1; - \frac{3}{4} \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi \: k \\ x = - arctg( \frac{3}{4} ) + \pi \: k$

Answer 2

Конечно, давай разберемся с этими уравнениями. Давай начнем с первого: \[5\cos(2x) + 2\cos(x) - 3 = 0.\] Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это уравнение. Заменим \(\cos(2x)\) и \(\cos(x)\) в выражении: \[5(2\cos^2(x) - 1) + 2\cos(x) - 3 = 0.\] Теперь у нас уравнение только с \(\cos(x)\): \[10\cos^2(x) + 2\cos(x) - 8 = 0.\] Теперь, если заметим, что это квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\), можем воспользоваться квадратным уравнением: \[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\] Здесь \(a = 10\), \(b = 2\), и \(c = -8\). Подставим значения: \[\cos(x) = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-8)}}{2 \cdot 10}.\] \[\cos(x) = \frac{-2 \pm \sqrt{164}}{20}.\] Теперь у нас есть два возможных значения \(\cos(x)\). Сначала рассмотрим плюс: \[\cos(x) = \frac{-2 + \sqrt{164}}{20}.\] Теперь минус: \[\cos(x) = \frac{-2 - \sqrt{164}}{20}.\] Таким образом, у нас есть два корня для уравнения \(5\cos(2x) + 2\cos(x) - 3 = 0\). Теперь перейдем ко второму уравнению: \[\sin(2x) + 14\cos^2(x) - 8 = 0.\] Мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\): \[2\sin(x)\cos(x) + 14\cos^2(x) - 8 = 0.\] Теперь заменим \(\cos(x)\) на \(u\): \[2\sin(x)u + 14u^2 - 8 = 0.\] Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(u\): \[14u^2 + 2\sin(x)u - 8 = 0.\] Мы можем воспользоваться тем же квадратным уравнением: \[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\] Здесь \(a = 14\), \(b = 2\sin(x)\), и \(c = -8\). Подставим значения: \[u = \frac{-2\sin(x) \pm \sqrt{(2\sin(x))^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-8)}}{2 \cdot 14}.\] \[u = \frac{-2\sin(x) \pm \sqrt{4\sin^2(x) + 448}}{28}.\] \[u = \frac{-\sin(x) \pm \sqrt{\sin^2(x) + 112}}{14}.\] Таким образом, у нас есть два корня для уравнения \(\sin(2x) + 14\cos^2(x) - 8 = 0\). Теперь мы можем рассмотреть пересечение корней обоих уравнений, чтобы найти общие корни. Но здесь возникает проблема. Уравнения не содержат параметра \(x\), и, кажется, что ответ включает в себя мнимые числа. Может быть, где-то есть ошибка?