Question

y=x/(x^2-9)    Описать функции: 1) Область определения 2) Множество значений 3) Четность, нечетность 4) Переодичнгость 5) Интервал монотомности 6) Экстремум функции 7) Выпуклость, вогнутость граф. функции, точки перегиба 8) Асимптоты граф. функции                                        

Answer 1

Пункт 2 решен в самом конце, потому что обоснуется он пунктом 8.

Answer 2

Функция f(x) = x/(x^2-9) имеет следующие характеристики: 1) Область определения: функция определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель равен нулю при x = -3 и x = 3, поэтому область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел, за исключением -3 и 3. 2) Множество значений: для анализа множества значений функции f(x) необходимо исключить точки разрыва, которые мы определили в области определения. Знаменатель (x^2-9) имеет два фактора: x-3 и x+3. Это означает, что значение функции становится бесконечным, когда x приближается к значениям -3 и 3. Таким образом, множество значений функции f(x) - это множество всех действительных чисел, за исключением бесконечности. 3) Четность, нечетность: для определения четности или нечетности функции f(x), сравним f(-x) с f(x). Подставим -x в уравнение функции и упростим: f(-x) = (-x)/((-x)^2-9) = -x/(x^2-9) Сравнивая это с f(x) = x/(x^2-9), мы видим, что f(-x) = -f(x). Это означает, что функция f(x) является нечетной. 4) Периодичность: чтобы определить периодичность функции f(x), решим уравнение f(x) = f(x + T), где T - период функции. Подставим выражение для функции и упростим: x/(x^2-9) = (x + T)/((x + T)^2-9) Решая это уравнение, мы не получаем конкретного значения для T. Это говорит о том, что функция f(x) не является периодической. 5) Интервал монотонности: чтобы определить интервалы монотонности функции f(x), найдем производную и установим ее знак. Найдем производную функции f(x): f'(x) = ((x^2-9) - x(2x))/((x^2-9)^2) Упростив это выражение, получим: f'(x) = 9/(x^2-9)^2 Знак производной будет положительным на интервалах, где выражение (x^2-9)^2 положительно, и отрицательным там, где это выражение отрицательно. Заметим, что (x^2-9)^2 всегда положительно, за исключением точек разрыва. Таким образом, функция f(x) монотонно возрастает на интервалах (-∞, -3) и (3, +∞), и монотонно убывает на интервале (-3, 3). 6) Экстремум функции: чтобы определить экстремумы функции f(x), приравняем производную к нулю и найдем соответствующие значения x: 9/(x^2-9)^2 = 0 Такого значения x, при котором производная равна нулю, нет. Это означает, что функция f(x) не имеет экстремумов. 7) Выпуклость, вогнутость графика функции: для определения выпуклости и вогнутости графика функции f(x), найдем вторую производную и установим ее знак. Найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = (-18x(x^2-9) + 9*(-2x))/((x^2-9)^3) Упростив это выражение, получим: f''(x) = -18x/(x^2-9)^3 Знак второй производной будет положительным на интервалах, где выражение -18x положительно, и отрицательным там, где это выражение отрицательно. Заметим, что -18x положительно на интервале (-∞, 0) и отрицательно на интервале (0, +∞). Таким образом, график функции f(x) выпуклый вниз на интервале (-∞, 0) и вогнутый вверх на интервале (0, +∞). Точек перегиба у функции f(x) нет. 8) Асимптоты графика функции: чтобы найти асимптоты графика функции f(x), проанализируем пределы функции при x стремящемся к бесконечности и при x стремящемся к точкам разрыва (-3 и 3). Предел при x -> ±∞: lim (x->∞) [x/(x^2-9)] = 0/∞ (применяем правило Лопиталя) = 0 lim (x->-∞) [x/(x^2-9)] = 0/∞ (применяем правило Лопиталя) = 0 Таким образом, горизонтальная асимптота у функции f(x) находится на уровне у = 0. Теперь проанализируем вертикальные асимптоты, которые находятся при x = -3 и x = 3. Мы уже определили, что функция становится бесконечной в этих точках. При x стремящемся к -3 и 3 справа и слева, знак функции меняется. Это говорит о наличии вертикальных асимптот на x = -3 и x = 3. Итак, у функции f(x) имеется горизонтальная асимптота на у = 0 и вертикальные асимптоты на x = -3 и x = 3.