Question

Найдите наименьшее значение функции у=2 х^3 +3 х^2 - 12 х на отрезке [0;2]

Answer 1

$y'=(2x^3+3x^2-12x)'=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2) \\ y'=0 \\ 6x^2+6x-12=0 \\ x^2+x-2=0 \\ x_1=1 \in [0;\ 2] \\ x_2=-2$

 

Второй корень не пригнадлежит заданому отрезку

 

$y(0)=2*0^3+3*0^2-12*0=0 \\ y(1)=2*1^3+3*1^2-12*1=5-12=-7 \\ y(2)=2*2^3+3*2^2-12*2=16+12-24=4$

 

Ответ: -7

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции у=2х^3+3х^2-12х на отрезке [0;2] необходимо найти точки экстремума функции и сравнить значения в этих точках. 1. Найдем производную функции у по х: у' = 6х^2 + 6х - 12. 2. Решим уравнение у' = 0, чтобы найти точки экстремума функции: 6х^2 + 6х - 12 = 0. 3. Разложим уравнение на множители: 2(3х^2 + 3х - 6) = 0. 4. Поделим обе части уравнения на 2: 3х^2 + 3х - 6 = 0. 5. Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4*3*(-6) = 9 + 72 = 81. 6. Найдем корни квадратного уравнения: х₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + 9) / (2*3) = 6 / 6 = 1, х₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - 9) / (2*3) = -12 / 6 = -2. Таким образом, точки экстремума функции у находятся в точках х = 1 и х = -2. 7. Подставим найденные значения х в исходную функцию у: у(1) = 2*1^3 + 3*1^2 - 12*1 = 2 + 3 - 12 = -7, у(-2) = 2*(-2)^3 + 3*(-2)^2 - 12*(-2) = -16 + 12 + 24 = 20. Таким образом, наименьшее значение функции у равно -7 и достигается в точке х = 1 на отрезке [0;2].