Question

Знайдіть проміжки монотонності та екстремуми функції: f(x)=3x^2-x^3помогите пожалуйста))​

Answer 1

Ответ:

Звичайно, я з радістю допоможу!

Щоб знайти проміжки монотонності та екстремуми функції f(x)=3x^2-x^3, потрібно взяти похідну цієї функції та дослідити її знаки на проміжках.

f(x) = 3x^2 - x^3

f'(x) = 6x - 3x^2

Тепер знайдемо точки перетину осі абсцис з графіком функції:

f(x) = 0

3x^2 - x^3 = 0

x(3-x^2) = 0

x = 0 або x = ±√3

Тепер складаємо таблицю знаків похідної на проміжках між цими точками та за їх межами:

|   x   |  -∞  | -√3 |  0  | √3 |  +∞ |

|-------|------|-----|-----|----|-----|

| f'(x) |  -   |  -  |  0+ |  + |  +  |

Отже, функція монотонно зменшується на проміжку (-∞, -√3), має максимум у точці x=0 та монотонно зростає на проміжках (0, √3) та (√3, +∞).

Знайдемо значення функції в точках екстремуму:

f(0) = 0

f(√3) = 9

f(-√3) = 9

Отже, функція має максимум у точці x=0 зі значенням функції f(0) = 0.

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции f(x) = 3x^2 - x^3, сначала найдем производную этой функции. f'(x) = d/dx(3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2. Для определения промежутков монотонности и экстремумов функции, найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. 6x - 3x^2 = 0, 3x(2 - x) = 0. Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 2. Теперь разобьем числовую ось на интервалы с помощью найденных критических точек, и для каждого интервала определим знак производной f'(x). Для интервала (-∞, 0): Выберем произвольную точку x = -1 и подставим в производную: 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9. Таким образом, на этом интервале производная f'(x) < 0, и функция f(x) убывает. Для интервала (0, 2): Выберем произвольную точку x = 1 и подставим в производную: 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3. Таким образом, на этом интервале производная f'(x) > 0, и функция f(x) возрастает. Для интервала (2, +∞): Выберем произвольную точку x = 3 и подставим в производную: 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9. Таким образом, на этом интервале производная f'(x) < 0, и функция f(x) убывает. Теперь найдем значения функции f(x) в найденных критических точках и на концах интервалов: f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0, f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 12 - 8 = 4. Таким образом, имеем: - минимум функции f(x) в точке (2, 4), - функция f(x) возрастает на интервале (0, 2) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), - функция f(x) имеет точку перегиба в точке x = 2. Это и является полным ответом на вопрос о промежутках монотонности и экстремумах функции f(x) = 3x^2 - x^3.