Question

Решить систему уравнений Даю 30 балов!!! {sinx•cosy=0,75 {siny•cosx=0,25 Это одна система⬆ Посмотреть ответы там cos(90-x) вроде и это sin(x) сложи, найди x+y, вырази y, подставь его и реши. Мне лень писать lidiasaraa3 lidiasaraa3 ......................... vovjke2906 vovjke2906 вот вроде так. извиняюсь за качество

Answer 1

Давайте решим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sin(x) \cdot \cos(y) = 0.75 \\ \sin(y) \cdot \cos(x) = 0.25 \end{cases} $$

Для решения этой системы, мы можем использовать тригонометрическое тождество $\sin(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$. Применим это тождество к обоим уравнениям:

1. $\sin(x) \cdot \cos(y) = 0.75$ преобразуется в $\frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)] = 0.75$ 2. $\sin(y) \cdot \cos(x) = 0.25$ преобразуется в $\frac{1}{2}[\sin(y+x) + \sin(y-x)] = 0.25$

Теперь у нас есть система:

$$ \begin{cases} \sin(x+y) + \sin(x-y) = 1.5 \\ \sin(x+y) - \sin(x-y) = 0.5 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$\sin(x+y) + \sin(x-y) + \sin(x+y) - \sin(x-y) = 1.5 + 0.5$

$2\sin(x+y) = 2$

$\sin(x+y) = 1$

Теперь мы знаем, что $x+y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ - целое число.

Теперь выразим $y$ через $x$: $y = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi$.

Подставим это выражение для $y$ в одно из исходных уравнений, например, в первое:

$\sin(x)\cos(\frac{\pi}{2} - x + 2k\pi) = 0.75$

Используя тождество $\cos(\frac{\pi}{2} - a) = \sin(a)$, получаем:

$\sin(x)\sin(x) = 0.75$

$\sin^2(x) = 0.75$

$\sin(x) = \pm\sqrt{0.75}$

Теперь мы можем найти все возможные значения $x$, а затем соответствующие значения $y$. Напоминаю, что решения должны удовлетворять обоим исходным уравнениям системы. how to solve a system of trigonometric equations