Question

Cos^2(x) -sin^2(x) >√2/2 sin(x)cos(x) < 1/4

Answer 1

Так как

cos²x-sin²x=cos2x,

то неравенство может записать в виде

cos2x > √2/2

(-π/4)+2πn < 2x <(π/4)+2πn, n∈Z

Делим неравенство на 2

(-π/8)+πn < x <(π/8)+πn, n∈Z  -  о т в е т.

Так как

sinxcosx=(1/2)sin2x

то неравенство может записать в виде

(1/2)sin2x < 1/4

sin2x <1/2

(5π/6)+2πk < 2x < (13π/6)+2πk, k∈Z

Делим неравенство на 2

(5π/12)+πk < x < (13π/12)+πk, k∈Z-  о т в е т.

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос. Неравенство cos^2(x) - sin^2(x) > √2/2 sin(x) cos(x) < 1/4 можно решить следующим образом:

- Сначала преобразуем левую и правую части неравенства к виду cos(2x), используя тригонометрические формулы: - cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) - √2/2 sin(x) cos(x) = 1/2 sin(2x) = 1/4 cos(π/4 - 2x) - 1/4 = 1/4 cos(0) - Тогда неравенство примет вид: cos(2x) > 1/4 cos(π/4 - 2x) < 1/4 cos(0) - Далее решаем каждое из двух неравенств отдельно, используя правило знаков функции: - cos(2x) > 1/4 cos(0) <=> cos(2x) > 1/4 <=> 2x ∈ (π/3 + 2πk, 5π/3 + 2πk), k ∈ Z - 1/4 cos(π/4 - 2x) < 1/4 cos(0) <=> cos(π/4 - 2x) < 1 <=> π/4 - 2x ∈ (0 + πk, π + πk), k ∈ Z - Наконец, находим пересечение этих двух множеств решений, учитывая, что x = (π/4 - 2x)/(-2): - x ∈ ((-5π + πk)/12, (-π + πk)/12), k ∈ Z - x ∈ ((-7π + πk)/12, (-3π + πk)/12), k ∈ Z

Ответ: x ∈ ((-5π + πk)/12, (-3π + πk)/12), k ∈ Z ∪ ((-7π + πk)/12, (-5π + πk)/12), k ∈ Z

Answer 3

Для решения этого неравенства, сначала нужно преобразовать его к более удобному виду. Для этого можно воспользоваться следующими тригонометрическими формулами:

- cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) - sin(x)cos(x) = 1/2 sin(2x)

Подставляя эти формулы в исходное неравенство, получаем:

cos(2x) > √2/2 * 1/2 sin(2x) < 1/4

Умножая все части неравенства на 4, получаем:

4cos(2x) > √2 sin(2x) < 1

Теперь можно решать это неравенство графическим способом. Для этого нужно построить графики функций y = 4cos(2x), y = √2 sin(2x) и y = 1 на одной системе координат и найти области, где график синуса лежит между графиками косинуса и константы. Это можно сделать с помощью онлайн-калькулятора, например, [такого](https://mathsolver.microsoft.com/en/solve-problem/%28%20%60sin%20%5E%20%7B%202%20%7D%20%28%20x%20%29%20-%20%60cos%20%5E%20%7B%202%20%7D%20%28%20x%20%29). Вот пример такого графика:

![График](https://i.imgur.com/8fZ0mzJ.png