Question

X^2+3xy-10y^2=0 x^2+2xy-y^2=28 _____________ 4x^2-4xy+y^2=9 3x^2+2xy-y^2=36

Answer 1

$1)\; \; \left \{ {{x^2+3xy-10y^2=0} \atop {x^2+2xy-y^2=28}} \right.\\\\x^2+3xy-10y^2=0\; |:y^2\ne 0\; \; \; \Rightarrow\quad (\frac{x}{y})^2+3\cdot\frac{x}{y}-10=0\\\\t=\frac{x}{y}\; ,\; \; t^2+3t-10=0\; ,\; \; t_1=-5\; ,\; t_2=2\\\\a)\; \; \frac{x}{y}=-5\; ,\; \; x=-5y\; ,\; \; (-5y)^2+2\cdot (-5y)\cdot y-y^2=28\; ,\\\\25y^2-10y^2-y^2=28\; ,\; \; 14y^2=28\; ,\; \; y^2=2\; ,\; \; y_{1,2}=\pm \sqrt2\\\\x_1=-5\sqrt2\; ,\; \; x_2=5\sqrt2$

$b)\; \; \frac{x}{y}=2\; ,\; \; x=2y\; \; ,\; \; 4y^2+4y^2-y^2=28\; ,\; \; 7y^2=28\; ,\; \; y^2=4\\\\y=\pm 2\; ,\; \; x=\pm 4\\\\Otvet:\; \; (-5\sqrt2;\sqrt2)\; ,\; (5\sqrt2;\; -\sqrt2)\; ,\; (4,2)\; ,\; (-4,-2)\; .$

$2)\; \; \left \{ {{4x^2-4xy+y^2=9\, |\cdot (-4)} \atop {3x^2+2xy-y^2=36}} \right.\; \oplus \; \left \{ {4x^2-4xy+y^2=9} \atop {-13x^2+18xy-5y^2=0}} \right.\\\\13x^2-18xy+5y^2=0\, |:y^2\ne 0\; \; \; \Rightarrow \; \; \; 13\cdot (\frac{x}{y})^2 -18\cdot \frac{x}{y}+5=0\; ,\\\\t=\frac{x}{y}\; ,\; \; 13t^2-18t+5=0\; ,\; D/4=16\; ,\; \; t_1=\frac{5}{13}\; ,\; \; t_2=\frac{13}{13}=1\\\\a)\; \; \frac{x}{y}=\frac{5}{13}\; \; ,\; \; x=\frac{5y}{13}\; \; ,\; \; 4\cdot \frac{25}{169}y^2-4\cdot \frac{5}{13}y^2+y^2=9\; ,$

$\frac{9}{169}\, y^2=9\; ,\; \; y^2=169\; ,\; \; y=\pm 13\\\\x=\pm 5\\\\b)\; \; \frac{x}{y}=1\; ,\; \; x=y\; ,\; 4y^2-4y^2+y^2=9\; ,\; \; y^2=9\; ,\; \; y=\pm 3\\\\x=\pm 3\\\\Otvet:\; \; (5,13)\; ,\; (-5,-13)\; ,\; (3,3)\; ,\; (-3,-3)\; .$

Answer 2

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности: 1) x^2 + 3xy - 10y^2 = 0 Это квадратное уравнение в двух переменных, можно попробовать его решить с помощью факторизации. Первым шагом можно посмотреть, можно ли вынести общий множитель: (x - y)(x + 10y) = 0 Отсюда следует, что либо (x - y) = 0, либо (x + 10y) = 0. Это два отдельных уравнения, которые можно решить: 1.1) x - y = 0 => x = y 1.2) x + 10y = 0 => x = -10y 2) x^2 + 2xy - y^2 = 28 Это также квадратное уравнение, но с другими коэффициентами. Также попробуем его решить с помощью факторизации: (x + y)(x + y) = 28 (x + y)^2 = 28 Отсюда следует, что x + y = ± √28, то есть: 2.1) x + y = √28 => x = -y + √28 2.2) x + y = -√28 => x = -y - √28 3) 4x^2 - 4xy + y^2 = 9 Это квадратное уравнение в двух переменных, можно попытаться посмотреть, можно ли его привести к квадрату следующим образом: (2x - y)^2 = 9 2x - y = ± √9 3.1) 2x - y = 3 => y = 2x - 3 3.2) 2x - y = -3 => y = 2x + 3 4) 3x^2 + 2xy - y^2 = 36 Опять же, попробуем привести квадратное уравнение к квадрату: (3x - y)(x + y) = 36 Отсюда получаем два отдельных уравнения для решения: 4.1) 3x - y = √36 => y = 3x - √36 4.2) 3x - y = -√36 => y = 3x + √36 Таким образом, мы получаем следующие решения системы уравнений: (x, y) = (y, y), (x, y) = (-10y, y), (x, y) = (-y + √28, √28 - y), (x, y) = (-y - √28, -√28 - y), (x, y) = (2x - 3, 2x - 3), (x, y) = (2x + 3, 2x + 3), (x, y) = (3x - √36, √36 - 3x), (x, y) = (3x + √36, -√36 - 3x). Решение полной системы можно найти, подставив найденные значения в каждое из уравнений и проверив их.