Question

1. P(x) и Q(x) - такие полиномы, что P(x)+x*Q(x) - полином второй степени, а P(x)*Q(x) - полином девятой степени. Какая степень полинома P(x)? 2. P(x) и Q(x) такие многочлены, что P(x)+Q(x) - многочлен третьей степени, а P(x)-Q(x) - многочлен пятой степени. Чему равна степень многочлена P(x)*Q(x)? Пожалуйста, объясните принцип решения таких задач, никак не соображу

Answer 1

Предположим , что степень полинома P(x) не равна степени полинома: x*Q(x).

Тогда степень полинома:

P(x) + x*Q(x) равна либо степени полинома P(x) либо x*Q(x) , в зависимости от того степень какого полинома больше. Но тогда по условию полином большей степени должен иметь 2 степень. Соответственно полином меньшей степени имеет 1 или 0 степень. Но тогда полином : x*P(x)*Q(x) имеет 2 или 3 степень, что невозможно , тк по условию : P(x)*x*Q(x) должен иметь 9+1=10 степень. То мы пришли к противоречию .

Значит степени полиномов P(x) и x*Q(x) должны быть равны.

Тогда тк степень x*P(x)*Q(x) равна 10. То степень полинома P(x) равна:10/2=5

2) Полином :

P(x) +Q(x) имеет степень 3, а полином

P(x)-Q(x) имеет степень 5.

Тогда сумма и разность этих полиномов имеет 5 степень:

То есть 2*P(x) имеет 5 степень и 2*Q(x) имеет 5 степень.

Тогда P(x)*Q(x) имеет 10 степень.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по очереди и разберемся в том, как решать такие задачи. 1. P(x) и Q(x) - такие полиномы, что P(x) * Q(x) - полином второй степени, и P(x) * Q(x) - полином девятой степени. Какая степень полинома P(x)? Для решения этой задачи воспользуемся знанием о степенях полиномов и их произведениях. Полином, полученный в результате произведения двух полиномов, имеет степень, равную сумме степеней исходных полиномов. Пусть степени P(x) и Q(x) равны m и n соответственно. Тогда степень P(x) * Q(x) будет равна m + n. Из условия известно, что P(x) * Q(x) - полином девятой степени, то есть m + n = 9. Также дано, что P(x) * Q(x) - полином второй степени, что означает, что m + n = 2. Итак, у нас есть система уравнений: 1. m + n = 9 2. m + n = 2 Эта система уравнений несовместна, так как не существует целых чисел m и n, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям одновременно. Это может быть следствием неточности в условии задачи или опечатки. В противном случае задача не имеет решения. 2. P(x) и Q(x) - такие многочлены, что P(x) + Q(x) - многочлен третьей степени, и P(x) - Q(x) - многочлен пятой степени. Чему равна степень многочлена P(x) * Q(x)? Для решения этой задачи также воспользуемся свойствами степеней полиномов и их произведений. Пусть степени P(x) и Q(x) равны m и n соответственно. Тогда степень P(x) * Q(x) будет равна m + n. Из условия известно, что P(x) + Q(x) - многочлен третьей степени, то есть max(m, n) = 3. Также дано, что P(x) - Q(x) - многочлен пятой степени, что означает, что max(m, n) = 5. Итак, у нас есть система уравнений: 1. max(m, n) = 3 2. max(m, n) = 5 Сравнивая оба уравнения, видно, что максимальная степень m и n, которая удовлетворяет обоим уравнениям, равна 5. Таким образом, степень многочлена P(x) * Q(x) равна 5. Принцип решения таких задач заключается в анализе свойств степеней полиномов и использовании информации из условия, чтобы сформулировать и решить систему уравнений, связанных с этими степенями.