Question

Алгебра 11 класс. Решите уравнение: log₃x - log₃(x²-6) = 0

Answer 1

ОДЗ :

1)x > 0

2) x² - 6 > 0

x > √6

x < -√6

общее Одз: x > √6

$log_{3}(x) - log_{3}( {x}^{2} - 6) = 0 \\ log_{3}( \frac{x}{{x}^{2} - 6 }) = 0 \\ log_{3}(1) = 0 \\ log_{3}(\frac{x}{{x}^{2} - 6 }) = log_{3}(1) \\ \frac{x}{ {x}^{2} - 6 } = 1 \\ x = {x}^{2} - 6$

x² - x - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

√d = 5

$x_{1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \\ x_{2} = \frac{1 - 5}{2} = - 2$

х = -2 не входит в область допустимых значений

Ответ: х = 3

Answer 2

Для решения этого уравнения, нужно сначала применить свойство логарифма, которое гласит, что logₐb - logₐc = logₐ(b/c). Тогда получим:

log₃x - log₃(x²-6) = 0

log₃(x/(x²-6)) = 0

Далее, нужно перевести логарифмическое уравнение в показательное, используя тот факт, что logₐb = c эквивалентно aᶜ = b. Тогда получим:

x/(x²-6) = 3⁰

x/(x²-6) = 1

Отсюда, можно выразить x через x²-6 и получить квадратное уравнение:

x = x²-6

x²-x-6 = 0

Для решения квадратного уравнения, нужно найти дискриминант и корни по формулам:

D = b²-4ac

x₁,₂ = (-b ± √D)/(2a)

Подставляя коэффициенты a=1, b=-1, c=-6, получим:

D = (-1)²-4*1*(-6) = 25

x₁ = (-(-1) + √25)/(2*1) = (1 + 5)/2 = 3

x₂ = (-(-1) - √25)/(2*1) = (1 - 5)/2 = -2

Однако, не все корни являются решениями логарифмического уравнения. Нужно проверить, чтобы аргументы логарифмов были положительными. То есть, нужно проверить условие:

x > 0 и x²-6 > 0

Первое условие выполняется только для x₁=3. Второе условие можно решить как неравенство квадратного трехчлена:

x²-6 > 0

(x-√6)(x+√6) > 0

Это неравенство выполняется, когда оба множителя одного знака. То есть, когда x < -√6 или x > √6. Первый случай не подходит для нашего корня x₁=3. Второй случай подходит, так как √6 < 3.

Таким образом, единственным решением логарифмического уравнения является x₁=3.

Если вы хотите узнать больше о решении логарифмических уравнений, вы можете посмотреть следующие источники:

[Учебник по алгебре за 11 класс Арефьева](https://resheba.top/algebra-11-klass)

[ГДЗ по алгебре 11 класс - Мегарешеба](https://megaresheba.ru/publ/gdz/algebra/11_klass/97-1-0-1269)

[Решебники ГДЗ по алгебре 11 класс - Reshak.ru](https://reshak.ru/tag/11klass_alg.html)

Надеюсь, это помогло вам решить задачу.