Question

Рассмотрим базис (не обязательно ортонормированный) на плоскости, образованной векторами p и q. координаты вектора s в этом базисе равны (1, -1), а координаты вектора t равны (2, -1). Вдополнение, | s | = 2, | t | = 3, а угол между s и t равен π / 3. Найти косинус угла между р и q.Подсказкой было: выразить (s,s) (s,t) (t,t) через (q,q) (p,q) (p,p) ... но..как? Что? Помогите, пожалуйста ;_;у меня получается 2 разных ответа в зависимости от метода решения. 1/2 и sqrt(3)/2Нужна хотя бы подсказка по какому пути идти

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится использовать скалярное произведение векторов. Вспомним, что скалярное произведение двух векторов определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Поскольку у нас даны координаты векторов s и t в базисе, мы можем представить их как линейную комбинацию базисных векторов p и q. Пусть координаты вектора p в этом базисе равны (a, b), а координаты вектора q равны (c, d). Тогда вектор s можно записать как s = a*p + b*q, а вектор t как t = c*p + d*q. У нас также даны длины векторов s и t: |s| = 2 и |t| = 3. Можно записать это следующим образом: |s|^2 = (a^2 + b^2)*(p,p) + 2ab*(p,q) + (c^2 + d^2)*(q,q) = 4, и |t|^2 = (c^2 + d^2)*(p,p) + 2cd*(p,q) + (a^2 + b^2)*(q,q) = 9. Здесь (p,p), (p,q) и (q,q) являются скалярными произведениями базисных векторов, которые нам нужно найти. Угол между векторами s и t равен π/3, что значит, что косинус угла между ними равен cos(π/3) = 1/2. Используя определение скалярного произведения, мы можем записать: s*t = |s|*|t|*cos(угол между ними) = 2*3*(1/2) = 3. Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти (p,p), (p,q) и (q,q): 4 = (a^2 + b^2)*(p,p) + 2ab*(p,q) + (c^2 + d^2)*(q,q), 9 = (c^2 + d^2)*(p,p) + 2cd*(p,q) + (a^2 + b^2)*(q,q), 3 = 2ab*(p,p) + (a^2 + b^2)*(p,q) + 2cd*(q,p) + (c^2 + d^2)*(q,q). Решая эту систему уравнений (например, методом Крамера или матричным методом), мы можем найти значения (p,p), (p,q) и (q,q), а затем использовать их, чтобы найти косинус угла между р и q. Удачи в решении задачи!