Question

Sin^2a+sin^2b+cos (a+b) cos (a-b) упростите выражение

Answer 1

Sin^2a + sin^2b + cos(a + b)*cos(a - b) = sin^2a + sin^2b + cos^2a - sin^2b = sin^2a + cos^2a = 1.

Answer 2

Для упрощения данного выражения мы можем использовать несколько тригонометрических тождеств:

1. Тождество суммы квадратов синуса и косинуса: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Это тождество позволяет упростить слагаемые sin^2(a) и sin^2(b).

Таким образом, выражение становится:
1 + 1 + cos(a+b)cos(a-b).

2. Тождество произведения косинусов: cos(A)cos(B) = (1/2) [cos(A+B) + cos(A-B)]. Это тождество позволяет упростить слагаемое cos(a+b)cos(a-b).

Выражение становится:
1 + 1 + (1/2) [cos(2a) + cos(2b)].

3. Тождество суммы косинусов: cos(A) + cos(B) = 2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]. Это тождество позволяет упростить сумму cos(2a) + cos(2b).

Выражение становится:
1 + 1 + (1/2) [2cos(a+b)*cos(a-b)].

4. Упрощение дроби (1/2) [2cos(a+b)*cos(a-b)]:
1 + 1 + cos(a+b)cos(a-b).

Таким образом, упрощенное выражение равно:
2 + cos(a+b)cos(a-b).

Answer 3

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать формулы тригонометрии.

1. Формула синуса в квадрате: sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Мы можем использовать эту формулу для первых двух членов выражения: sin^2(a) + sin^2(b).
Заменим sin^2(a) на 1 - cos^2(a) и sin^2(b) на 1 - cos^2(b):
(1 - cos^2(a)) + (1 - cos^2(b)) = 2 - (cos^2(a) + cos^2(b)).

2. Формула косинуса суммы: cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b). Используем эту формулу для третьего члена выражения: cos(a + b) * cos(a - b).
Заменяем cos(a + b) на cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) и cos(a - b) на cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b):
(cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)) * (cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)).

Подставляем упрощенные значения обратно в исходное выражение:
2 - (cos^2(a) + cos^2(b)) + (cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)) * (cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)).

Сокращаем и умножаем получившиеся члены:
2 - cos^2(a) - cos^2(b) + cos^2(a) * cos^2(b) - sin^2(a) * sin^2(b) + cos^2(a) * sin^2(b) - cos^2(b) * sin^2(a) + sin^2(a) * sin^2(b).

Далее, мы можем использовать формулу синуса в квадрате и сократить некоторые члены:
2 - cos^2(a) - cos^2(b) + cos^2(a) * cos^2(b) - (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b)) + cos^2(a) * (1 - cos^2(b)) - (1 - cos^2(a)) * sin^2(b).

Раскрываем скобки и сокращаем:
2 - cos^2(a) - cos^2(b) + cos^2(a) * cos^2(b) - (1 - cos^2(a) - cos^2(b) + cos^2(a) * cos^2(b))) + cos^2(a) - cos^2(a) * cos^2(b) - sin^2(b) + cos^2(a) * sin^2(b).

Сокращаем получившиеся члены:
2 - cos^2(a) - cos^2(b) + cos^2(a) * cos^2(b) - 1 + cos^2(a) + cos^2(a) * sin^2(b) - sin^2(b) + cos^2(a) * sin^2(b).

Далее, мы можем сгруппировать члены:
1 + 2 * cos^2(a) + cos^2(b) - sin^2(b) + 2 * cos^2(a) * sin^2(b).

Иногда это может быть достаточным, чтобы упростить выражение.