Question

Решить логарифмическое неравенство log2х + log2(х−2)<3

Answer 1

.......................

Answer 2

Для решения данного логарифмического неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов.

Сначала объединим два логарифма суммой и разности: log2(х(х-2)) < 3

Затем заметим, что можно переписать логарифм как степень основания, используя следующее свойство: log2(х(х-2)) = log2х + log2(х−2)

Теперь у нас есть логарифмическое выражение в виде степени основания. Мы хотим найти значение "х", при котором данное выражение меньше 3.

Перепишем неравенство в виде экспоненты: 2^(log2(х(х-2))) < 2^3

Теперь, используя свойство 2^(log2(х(х-2))) = х(х-2), неравенство примет вид: х(х-2) < 8

Раскроем скобки: х^2 - 2х < 8

Перенесем все в одну сторону: х^2 - 2х - 8 < 0

Теперь решим квадратное уравнение: х^2 - 4х + 2х - 8 < 0

Сгруппируем члены: (х^2 - 4х) + (2х - 8) < 0

Факторизуем: x(x - 4) + 2(x - 4) < 0

(x - 4)(x + 2) < 0

Знак двух множителей должен быть противоположным и доминирующим. Это значит, что одно из чисел должно быть положительным, а другое отрицательным.

Анализируя возможные варианты знаков, мы можем определить интервалы, для которых неравенство будет выполняться.

1. Если (x - 4) > 0 и (x + 2) < 0, то x > 4 и x < -2. Но данное решение невозможно, так как логарифм определен только для положительных чисел.

2. Если (x - 4) < 0 и (x + 2) > 0, то x < 4 и x > -2. В этом случае при x значениях (-2; 4) неравенство выполняется.

Таким образом, решением данного логарифмического неравенства является интервал (-2; 4).