Question

Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 7. Если к числителю этой дроби прибавить 5 , а к знаменателю 6 , то она увеличится на ​ ​1 /10 дробное значение​​ . Найдите эту дробь

Answer 1

Дробь Х/( Х + 7 )
( Х + 5 ) / ( Х + 7 + 6 ) - 1/10 = Х/ ( Х + 7 )
( Х + 5 )/( Х + 13 ) - 1/10 = Х /( Х + 7 )
( 10( Х + 5 ) - ( Х + 13 ) ) / ( 10( Х + 13 )) = Х / ( Х + 7 )
( 10х + 50 - Х - 13 )/( 10х + 130 ) = Х / ( Х + 7 )
( 9х + 37 )/( 10х + 130 ) = Х/( Х + 7 )
( 9х + 37 )( Х + 7 ) = х( 10х + 130 )
9х^2 + 63х + 37х + 259 = 10х^2 + 130х
9х^2 + 100х + 259 = 10х^2 + 130х
Х^2 + 30х - 259 = 0
D = 900 + 1036 = 1936 = 44^2
X1 = ( - 30 + 44 ) : 2 = 7 ( числитель )
X2 = ( - 30 - 44 ) : 2 = - 37 ( < 0 )
7 + 7 = 14 ( знаменатель )
Проверка
7/14
( 7 + 5 )/( 14 + 6 ) = 12/20 = 6/10
7/14 = 1/2
6/10 - 1/2 = 6/10 - 5/10 = 1/10
Ответ 7/14 ( или 1/2 )

Answer 2

Пусть числитель обыкновенной дроби равен x, а знаменатель равен x + 7.

Тогда обыкновенная дробь будет равна x / (x + 7).

Если к числителю прибавить 5, а к знаменателю 6, то новая дробь будет равна (x + 5) / (x + 13).

По условию задачи, эта новая дробь увеличивается на 1/10, то есть

(x + 5) / (x + 13) - x / (x + 7) = 1/10.

Решим это уравнение:

(x + 5)(x + 7) - x(x + 13) = (x + 13)(x + 7) / 10.

(x^2 + 12x + 35) - (x^2 + 13x) = (x^2 + 20x + 91) / 10.

12x + 35 - 13x = (x^2 + 20x + 91) / 10.

-x + 35 = (x^2 + 20x + 91) / 10.

10(-x + 35) = x^2 + 20x + 91.

-10x + 350 = x^2 + 20x + 91.

0 = x^2 + 30x - 259.

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 * 1 * (-259) = 900 + 1036 = 1936.

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-30 + √1936) / 2 = (-30 + 44) / 2 = 14 / 2 = 7.

x2 = (-b - √D) / (2a) = (-30 - √1936) / 2 = (-30 - 44) / 2 = -74 / 2 = -37.

Мы искали обыкновенную дробь, поэтому нас интересует только положительный корень x1 = 7.

Таким образом, числитель обыкновенной дроби равен 7, а знаменатель равен 7 + 7 = 14.

Искомая дробь равна 7/14, которую можно сократить до 1/2.