Question

Найти все вещественные значения а , при каждом из которых числа √(a²+1) и √(4a²+37) оба целые

Answer 1

Решение : //////////////////////////////

Answer 2

Чтобы найти все вещественные значения a, при которых числа √(a²+1) и √(4a²+37) оба целые, мы можем использовать два условия: 1. Число под корнем должно быть полным квадратом. 2. Число под корнем должно быть также полным квадратом для корня √(4a²+37). Рассмотрим первое условие: √(a²+1) должно быть целым. Это возможно только если a²+1 - полный квадрат. То есть, существует целое число k, такое что: a²+1 = k² Теперь рассмотрим второе условие: √(4a²+37) также должно быть целым. Это возможно только если 4a²+37 - полный квадрат. То есть, существует целое число n, такое что: 4a²+37 = n² Для удобства, заменим a² на m в первом уравнении: m+1 = k² (1) Затем, заменим a² на m во втором уравнении: 4m+37 = n² (2) Теперь мы имеем систему уравнений (1) и (2). Рассмотрим первое уравнение (1). Мы можем выразить m через k: m = k²-1 Подставим это значение во второе уравнение (2): 4(k²-1)+37 = n² Раскроем скобки: 4k²-4+37 = n² Упростим: 4k²+33 = n² Теперь, мы знаем, что разность двух квадратов (4k²+33 - n²) должна быть равна произведению их суммы и разности (2k²+n)(2k²-n). Таким образом, уравнение можно записать следующим образом: (2k²+n)(2k²-n) = 33 Рассмотрим все возможные пары множителей, которые могут дать произведение 33: 1 × 33 3 × 11 -1 × -33 -3 × -11 Теперь решим каждую пару уравнений: 1) 2k²+n = 33, 2k²-n = 1 Сложим два уравнения: 4k² = 34 k² = 17 Так как k² не целое число, эта пара не подходит. 2) 2k²+n = 11, 2k²-n = 3 Сложим два уравнения: 4k² = 14 k² = 7 Так как k² не целое число, эта пара не подходит. 3) 2k²+n = -33, 2k²-n = -1 Сложим два уравнения: 4k² = -34 k² = -17 Так как k² не целое число, эта пара не подходит. 4) 2k²+n = -11, 2k²-n = -3 Сложим два уравнения: 4k² = -14 k² = -7 Так как k² не целое число, эта пара не подходит. Таким образом, нам не удалось найти значения a, при которых оба числа √(a²+1) и √(4a²+37) будут целыми.