Question

Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x^3>=x^6+ 8\9

Answer 1

Решение
x³ ≥ x⁶ + 8/9
(x³)² - x³ + 8/9 ≤ 0
x³ = t
9t² - 9t + 8 = 0
D = 81 - 4*9*8 = - 207 < 0 решений нет

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы можем привести его к виду x^6 + 8/9 - x^3 ≤ 0.

Теперь заметим, что мы можем применить замену переменной. Пусть y = x^3. Тогда наше уравнение примет вид y^2 + 8/9 - y ≤ 0.

Это квадратное неравенство можно решить с помощью разложения на множители или графически. Чтобы использовать разложение на множители, нужно сперва привести его к стандартному виду: y^2 - y + 8/9 ≤ 0.

Теперь разложим его на множители: (y - 1/3)(y - 8/9) ≤ 0.

Мы ищем значения y, при которых это неравенство будет выполняться. Неравенство ≤ 0 означает, что один из множителей должен быть отрицательным, а другой должен быть положительным или равным нулю.

Рассмотрим случаи:
1. Если (y - 1/3) > 0 и (y - 8/9) ≤ 0, то y > 1/3 и y ≤ 8/9. Это означает, что 1/3 < y ≤ 8/9.
2. Если (y - 1/3) ≤ 0 и (y - 8/9) > 0, то y ≤ 1/3 и y > 8/9. Это невозможно, так как y не может быть одновременно меньше 1/3 и больше 8/9.
3. Если (y - 1/3) < 0 и (y - 8/9) ≥ 0, то y < 1/3 и y ≥ 8/9. Это невозможно, так как y не может быть одновременно меньше 1/3 и больше 8/9.
4. Если (y - 1/3) ≥ 0 и (y - 8/9) < 0, то y ≥ 1/3 и y < 8/9. Это означает, что 1/3 ≤ y < 8/9.
5. Если (y - 1/3) ≥ 0 и (y - 8/9) > 0, то y ≥ 1/3 и y > 8/9. Это означает, что y > 8/9.

Теперь заменяем переменную обратно: x^3 > 8/9 при условии 1/3 < x ≤ 2/3, иначе говоря, 1 < x^3 ≤ 2.

Таким образом, получается, что есть 2 целых числа, которые удовлетворяют данному неравенству: x = 1 и x = 2.