Question

Доведи, що при будь-якому натуральному n: а) значення виразу (n + 13)2 - (n - 12)2 kpaTHе 25; б) значення виразу (4n + 1)2 - (4n - 3)2 кратне 8.

Answer 1

a)

$(n + 13)^2 - (n - 12)^2 =n^2+26n+169-n^2+24n-144=50n+25=25(2n+2)$

25(2n+2) - кратне 25

б)

$(4n + 1)^2 - (4n - 3)^2=16n^2+8n+1-16n^2+24n-9=32n-8=8(4n-1)$

8(4n-1) - кратне 8

Answer 2

Объяснение:

а)

(n + 13)² - (n - 12)² =

(n*n + 2*n*13 + 13*13) - (n*n - 2*n*12 + 12*12) =

(n² + 26n + 169) - (n² - 24n + 144) =

n² + 26n + 169 - n² + 24n - 144 =

50n + 25 = 25 * (2n + 1)

Данное выражение при любом значении n кратно 25, так как один из множителей является числом 25.

б)

(4n + 1)² - (4n - 3)² =

(4n*4n + 2*4n*1 + 1*1) - (4n*4n - 2*4n*3 + 3*3) =

(16n² + 8n + 1) - (16n² - 24n + 9) =

16n² + 8n + 1 - 16n² + 24n - 9 =

32n - 8 = 8 * (4n - 1)

Данное выражение при любом значении n кратно 8, так как один из множителей является числом 8.

Answer 3

Давайте розглянемо обидва вирази по черзі: а) Значення виразу (n + 13)^2 - (n - 12)^2 не дорівнює 25. Для доведення цього, ми можемо розкрити квадрати виразів: (n + 13)^2 - (n - 12)^2 = (n^2 + 26n + 169) - (n^2 - 24n + 144) Проведемо обчислення: n^2 + 26n + 169 - n^2 + 24n - 144 = 50n + 25 Отже, ми отримали вираз 50n + 25. Якщо цей вираз дорівнює 25, то: 50n + 25 = 25 50n = 0 n = 0 Таким чином, єдине значення n, при якому вираз (n + 13)^2 - (n - 12)^2 дорівнює 25, є n = 0. б) Значення виразу (4n + 1)^2 - (4n - 3)^2 кратне 8. Для доведення цього ми також розкриваємо квадрати: (4n + 1)^2 - (4n - 3)^2 = (16n^2 + 8n + 1) - (16n^2 - 24n + 9) Проведемо обчислення: 16n^2 + 8n + 1 - 16n^2 + 24n - 9 = 32n - 8 Отже, ми отримали вираз 32n - 8. Щоб цей вираз був кратний 8, значить: 32n - 8 ≡ 0 (mod 8) 32n ≡ 8 (mod 8) Оскільки 32 ≡ 0 (mod 8), то ми отримуємо: 0n ≡ 0 (mod 8) Це рівняння виконується для будь-якого значення n. Таким чином, ми довели, що значення виразу (n + 13)^2 - (n - 12)^2 не дорівнює 25 для будь-якого натурального числа n, а значення виразу (4n + 1)^2 - (4n - 3)^2 кратне 8 для будь-якого натурального числа n.