Question

Можете пожалуйста объяснить как найти D(F) если F=g°f и g(x)=√x;f(x)= x²

Answer 1

D(F)=x² * √x = (f'g+fg')=((x²)'√x + x^2(x^1/2)')=2x*√x+x^2*1/2√x = 5√x³/2

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производную композиции функций \(g(f(x))\), где \(g(x) = \sqrt{x}\) и \(f(x) = x^2\).

1. Начнем с выражения для композиции функций \(g(f(x))\):

\[g(f(x)) = g(x^2)\]

2. Теперь найдем производные \(g(x)\) и \(f(x)\):

- \(g(x) = \sqrt{x}\)

Производная \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\), что можно записать как \(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\).

- \(f(x) = x^2\)

Производная \(x^2\) равна \(2x\).

3. Теперь применим правило цепочки (chain rule), которое гласит, что производная композиции двух функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции:

\[D(g(f(x))) = g'(f(x)) \cdot f'(x)\]

В данном случае:

- \(g'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\) - \(f'(x) = 2x\)

4. Подставим эти значения:

\[D(g(f(x))) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x\]

5. Упростим выражение:

\[D(g(f(x))) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\]

Итак, производная \(D(g(f(x)))\) равна \(\sqrt{x}\).