Question

Cos75°+cos105° преобразовать сумму косинусов в произведение

Answer 1

Cos (75+105)=cos30=1/2

Answer 2

Чтобы выразить сумму \(\cos(75^\circ) + \cos(105^\circ)\) в виде произведения, мы можем использовать тригонометрические тождества, а именно формулу синуса и формулу двойного угла для косинуса. Давайте разберемся по шагам:

1. Начнем с угла 75 градусов. Мы можем записать его как сумму углов 45 градусов и 30 градусов: \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\).

2. Теперь используем формулу синуса для суммы углов: \(\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)\).

3. Значения синусов и косинусов для 45 и 30 градусов хорошо известны: \(\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

4. Подставляем эти значения и упрощаем: \(\sin(75^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}\). \(\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\).

5. Теперь выразим \(\cos(75^\circ)\) с использованием формулы синуса и определения косинуса: \(\cos(75^\circ) = \sqrt{1 - \sin^2(75^\circ)}\). \(\cos(75^\circ) = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}\). \(\cos(75^\circ) = \sqrt{1 - \left(\frac{6}{16} + \frac{4}{4}\right)}\). \(\cos(75^\circ) = \sqrt{1 - \frac{9}{8}}\). \(\cos(75^\circ) = \sqrt{\frac{8}{8} - \frac{9}{8}}\). \(\cos(75^\circ) = \sqrt{\frac{-1}{8}}\).

Теперь мы знаем значение \(\cos(75^\circ)\).

6. Повторим аналогичные шаги для угла 105 градусов. Так как \(105^\circ = 45^\circ + 60^\circ\), мы можем использовать формулу синуса для суммы углов и известные значения синусов и косинусов: \(\sin(105^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(60^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(60^\circ)\).

Вычислим это выражение, а затем найдем \(\cos(105^\circ)\) аналогично шагу 5.

7. Теперь, чтобы выразить сумму \(\cos(75^\circ) + \cos(105^\circ)\) в виде произведения, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов: \(\cos(75^\circ) + \cos(105^\circ) = \cos(75^\circ) - \cos(105^\circ) = \sqrt{\frac{-1}{8}} - \sqrt{\text{выражение для }\cos(105^\circ)}\).

Таким образом, сумму \(\cos(75^\circ) + \cos(105^\circ)\) можно выразить как разность двух квадратных корней.