Question

Известно, что при любых целых значениях x выражение ax3 + bx2 + cx принимает целые значения. Докажите, что 6a – целое число.

Answer 1

 Это очевидный факт, так как  $ax^3+bx^2+cx=x(ax^2+bx+c)$  , чтобы число  $ax^3+bx^2+cx$ было целым , очевидно что оно следует из того что коэффициенты  $a,b,c$ так же должны быть целыми , так как сумма трех целых чисел дает целое число   $C_{1}+C_{2}+C_{3}$  , значит и  $6a$ целое 

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Давайте разберемся пошагово.

Пусть дано выражение ax^3 + bx^2 + cx, которое принимает целые значения для всех целых значений x. Нам нужно доказать, что 6a также является целым числом.

1. Базовый случай: Для x = 0, выражение принимает вид c, и мы знаем, что оно целое. Поэтому a = 6a / 6 является целым числом, и базовый случай доказан.

2. Предположение индукции: Предположим, что 6a является целым числом для некоторого целого числа k.

3. Индукционный переход: Теперь мы хотим доказать, что 6a также будет целым числом для k + 1. Рассмотрим выражение при x = k + 1:

a(k + 1)^3 + b(k + 1)^2 + c

Раскроем скобки:

a(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + b(k^2 + 2k + 1) + c

Теперь давайте сгруппируем члены:

a(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + b(k^2 + 2k + 1) + c = ak^3 + 3ak^2 + 3ak + a + bk^2 + 2bk + b + c

Теперь мы видим, что это выражение является суммой целых чисел, так как, согласно предположению индукции, 6a, 2b и c являются целыми числами. Таким образом, сумма целых чисел также будет целым числом. Поэтому 6a + 2b + c также является целым числом.

Теперь давайте рассмотрим выражение:

6a = 6a + 2b + c - (2b + c)

Мы уже знаем, что 6a + 2b + c и 2b + c являются целыми числами. Разность двух целых чисел также является целым числом. Таким образом, 6a является целым числом.

Мы успешно доказали, что 6a является целым числом с использованием метода математической индукции.