Question

Найдется ли такое натуральное число n при котором число 2n+n2 оканчивается цифрой 5 обоснуйте

Answer 1

$2n+n^2=n(2+n)$
Последнее произведение будет оканчиваться на 5 при n = *3 и n = *5, где * - 0 или любое натуральное число.
Примеры:
n = 3: 3*(2+3) = 3*5 = 15
n = 5: 5*(2+5) = 5*7 = 35
n = 13:  13*(2+13) = 13*15 = 195
n = 15: 15*(2+15) = 15*17 = 255
и т.д.

Answer 2

Да, такое натуральное число существует.

Рассмотрим форму числа 2n + n^2. Чтобы число оканчивалось цифрой 5, необходимо, чтобы остаток от деления этого числа на 10 был равен 5. Из этого условия следует, что остаток от деления 2n на 10 должен быть 5 и остаток от деления n^2 на 10 должен быть также 5.

Рассмотрим остатки от деления чисел на 10: - Если остаток от деления n на 10 равен 5, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 5. - Если остаток от деления n на 10 равен 0, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 0. - Если остаток от деления n на 10 равен 1, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 1. - Если остаток от деления n на 10 равен 2, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 4. - Если остаток от деления n на 10 равен 3, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 9. - Если остаток от деления n на 10 равен 4, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 6. - Если остаток от деления n на 10 равен 6, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 6. - Если остаток от деления n на 10 равен 7, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 9. - Если остаток от деления n на 10 равен 8, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 4. - Если остаток от деления n на 10 равен 9, то остаток от деления n^2 на 10 также будет равен 1.

Таким образом, единственный остаток от деления n на 10, при котором и остаток от деления n^2 на 10 будет равен 5, - это остаток 5. Из этого следует, что последняя цифра числа n должна быть равна 5.

Таким образом, существует натуральное число n, для которого число 2n + n^2 оканчивается цифрой 5.