Question

Пожалуйста!!!Очень надо! Пожалуйста помогите!Укажите число корней уравнения tg2x·cos6x-sin6x=sin4x на промежутки [2пи/3 ; 4пи/3]

Answer 1

$tg2x*cos6x-sin6x=sin4x \\ \frac{sin2x}{cos2x} *cos6x=sin4x+sin6x$

cos6x сделать формулой утроенного угла 

$\frac{sin2x}{cos2x} *(4cos^32x-3cos2x)=sin4x+sin6x$

Сокращаем

$sin2x(4cos^22x-3)=sin4x+sin6x \\ sin2x(4(1-sin^2x)-3)=sin4x+sin6x \\ sin2x(4-4sin^22x-3)=sin4x+sin6x \\ sin2x(1-4sin^22x)=sin4x+sin6x$

Обработаем с правой частью

sin4x упростим как sin2x, a sin6x сделать формулой утроенного угла 

$sin2x(1-4sin^22x)=2sin2x*cos2x+3sin^2x-4sin^32x \\ sin2x(1-4sin^22x)-2sin2x*cos2x-3sin^22x+4sin^32x=0$

выносим за скобки sin2x

$sin2x(1-4sin^22x-2cos2x-3+4sin^22x)=0 \\ sin2x(-2cos2x-2)=0$

И так у нас два уравнения 

sin2x =0 и -2cos2x-2=0

$sin2x=0 2x=(-1)^k*arcsin0 + \pi k \\ 2x= \pi k \\ x_1= \frac{ \pi k}{2}$

$-2cos2x-2=0 \\ 2cos2x=-2 \\ cosx2=-1 \\ 2x=arccos(-1)+2 \pi n \\ x_2= \frac{ \pi }{2} + \pi n$
Для x=πk/2

при к=2: x=2π/2=π 

Корни для  x=πk/2 только π.

Answer 2

Для нахождения числа корней уравнения, нужно проанализировать функцию на заданном промежутке и выяснить, сколько раз она пересекает ось абсцисс.

Данное уравнение содержит смешанные тригонометрические функции, поэтому для его анализа нам потребуются некоторые тригонометрические тождества.

1. Тождество сложения синусов: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

2. Тождество сложения косинусов: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

3. Тождество удвоения синуса: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

4. Тождество удвоения косинуса: cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 1 - 2sin^2(a)

Теперь приступим к анализу уравнения.

tg(2x)cos^6(x) - sin^6(x) = sin^4(x)

Перепишем уравнение, заменив tg(2x) и sin^6(x), используя тождества:

2sin(x)cos(x)cos^4(x) - (1 - cos^2(x))^3 = sin^4(x)

2sin(x)cos(x)cos^4(x) - (1 - 3cos^2(x) + 3cos^4(x) - cos^6(x)) = sin^4(x)

2sin(x)cos(x)cos^4(x) - 1 + 3cos^2(x) - 3cos^4(x) + cos^6(x) = sin^4(x)

cos^6(x) - 3cos^4(x) + 3cos^2(x) - 2sin(x)cos(x)cos^4(x) + sin^4(x) - 1 = 0

Обозначим cos^2(x) = t:

t^3 - 3t^2 + 3t - 2sin(x)cos(x)t^2 + sin^4(x) - 1 = 0

Теперь проанализируем данное уравнение на промежутке [2π/3, 4π/3].

На этом промежутке уравнение имеет следующий вид:

t^3 - 3t^2 + 3t - 2sin(x)cos(x)t^2 + sin^4(x) - 1 = 0

Мы видим, что данное уравнение является кубическим по переменной t. Также в уравнении присутствуют sin(x) и cos(x), которые являются неизвестными. Значит, мы не можем точно определить число корней уравнения на данном промежутке без дополнительной информации о значениях sin(x) и cos(x).

Для определения числа корней уравнения на промежутке [2π/3, 4π/3] нам потребуется дополнительная информация о значениях sin(x) и cos(x).