Question

Почему число 3 не является корнем многочлена: x^4+5x^3+4x^2+18x+11=0. Почему число -5 не является корнем многочлена: x^4-3x^3-4x^2+28x+11=0.

Answer 1

Число 3 будет являться корнем x^4+5x^3+4x^2+18x+11=0, если при подстановке будет верное равенство.. Проверим:
3^4+5*3^3+4*3^2+18*3+11=0
81+135+36+54+11= 0 
317 = 0 (неверно) значит, число 3 НЕ корень данного уравнения.

Число -5 будет являться корнем x^4-3x^3-4x^2+28x+11=0, если при подстановке будет верное равенство.. Проверим:
(-5)^4-3*(-5)^3-4*(-5)^2+28*(-5)+11=0.
625+375-100-140+11= 0
771=0 (неверно) значит, число -5 НЕ корень данного уравнения.

Answer 2

Чтобы определить, является ли число корнем данного многочлена, вы можете использовать теорему о структуре корней многочлена. Согласно этой теореме, если число $a$ является корнем многочлена $P(x)$, то $(x - a)$ является множителем этого многочлена. В противном случае, если $(x - a)$ не является множителем многочлена, то число $a$ не является корнем многочлена.

Теперь давайте применим этот принцип к обоим задачам:

1. Для многочлена $x^4 + 5x^3 + 4x^2 + 18x + 11 = 0$ проверим, является ли 3 его корнем. Если 3 был бы корнем, то $(x - 3)$ должен был бы быть множителем. Попробуем разделить многочлен на $(x - 3)$:

   $(x^4 + 5x^3 + 4x^2 + 18x + 11) / (x - 3)$

   Если вы выполните деление с использованием синтетического деления или деления полиномов, вы увидите, что остаётся ненулевой остаток. Это означает, что $x - 3$ не является множителем многочлена, и, следовательно, 3 не является корнем этого многочлена.

2. Для многочлена $x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 28x + 11 = 0$, проверим, является ли -5 его корнем. Если -5 был бы корнем, то $(x + 5)$ должен был бы быть множителем. Попробуем разделить многочлен на $(x + 5)$:

   $(x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 28x + 11) / (x + 5)$

   Вы также увидите, что остаётся ненулевой остаток. Это означает, что $x + 5$ не является множителем многочлена, и, следовательно, -5 не является корнем этого многочлена.

Таким образом, ни 3, ни -5 не являются корнями соответствующих многочленов.