Question

Другий член геометричної прогресії з додатним знамеником дорівнює 48, а восьмий член дорівнює Знайдіть п'ятий член цієї прогресії.

Answer 1

По свойству геометрической прогрессии пятый член прогрессии равен средне геометрическому второго и восьмого членов прогрессии; (b5)^2=b2*b8; (b5)^2=48 * 1/3=16; b5=√16=4 (b5=-4 нам не нужен, так как знаменатель прогрессии положительный); Ответ: 4

Answer 2

Для знаходження п'ятого члена геометричної прогресії, нам спершу потрібно знайти знаменник (розмір кроку) прогресії. Ми знаємо, що другий член дорівнює 48, а восьмий член нам невідомий. Ми можемо використовувати формулу для n-го члена геометричної прогресії:

$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$,

де:

• $a_n$ - n-й член прогресії.
• $a_1$ - перший член прогресії.
• $r$ - знаменник (розмір кроку).
• $n$ - порядковий номер члена прогресії.

Ми знаємо, що $a_2 = 48$ і $a_8$ нам невідомий, але ми шукаємо $a_5$. Таким чином, ми можемо записати дві рівності:

$a_2 = a_1 \cdot r^{(2-1)} = 48$ (рівність для другого члена)

$a_8 = a_1 \cdot r^{(8-1)}$ (рівність для восьмого члена)

Ми можемо розділити рівності одна на одну, щоб отримати вираз для $r$:

$\frac{a_8}{a_2} = \frac{a_1 \cdot r^{(8-1)}}{a_1 \cdot r^{(2-1)}}$

Спростимо вираз:

$\frac{a_8}{a_2} = r^{7} = \frac{a_8}{a_2}$

Тепер, ми можемо підставити відомі значення $a_2 = 48$ і $a_8$ у вираз:

$r^7 = \frac{a_8}{48}$

Тепер ми можемо знайти значення $r$:

$r = \sqrt[7]{\frac{a_8}{48}}$

Зараз у нас є значення $r$, і ми можемо використовувати формулу для знаходження п'ятого члена $a_5$:

$a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)}$

Виразимо $a_5$:

$a_5 = a_1 \cdot r^{4} = 48 \cdot \left(\sqrt[7]{\frac{a_8}{48}}\right)^4$

Зараз ми можемо обчислити значення п'ятого члена $a_5$, використовуючи відоме значення другого члена ($a_2 = 48$) і вираз для $r$, який ми отримали раніше.