Question

Найдите точку минимума функции y=(3x^{2} -21x+21)e^{x-21}

Answer 1

Y ' =(6x-15)e^x + (3x^2-15x+15)e^x=(6x-15+ 3x^2 -15x+15)e^x=(3x^2 -9x)e^x=0. e^x не=0, тогда 3x^2 -9x=0, 3x(x-3)=0, x=0; 3.

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции $y = (3x^{2} - 21x + 21)e^{x - 21}$, мы сначала найдем производную этой функции, приравняем ее к нулю, а затем решим уравнение для $x$. Минимум функции будет находиться в точке, где производная меняет свой знак с отрицательного на положительный.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y'(x) = \frac{d}{dx}((3x^{2} - 21x + 21)e^{x - 21})$

Для нахождения производной произведения функций используем правило производной произведения:

$y'(x) = (3x^{2} - 21x + 21) \frac{d}{dx}(e^{x - 21}) + e^{x - 21} \frac{d}{dx}(3x^{2} - 21x + 21)$

Теперь вычислим производные отдельных частей:

$\frac{d}{dx}(e^{x - 21}) = e^{x - 21}$

$\frac{d}{dx}(3x^{2} - 21x + 21) = 6x - 21$

Теперь объединим все вместе:

$y'(x) = (3x^{2} - 21x + 21)e^{x - 21} + e^{x - 21}(6x - 21)$

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$0 = (3x^{2} - 21x + 21)e^{x - 21} + e^{x - 21}(6x - 21)$

Далее, мы можем разделить уравнение на $e^{x - 21}$, так как $e^{x - 21}$ не равно нулю:

$0 = (3x^{2} - 21x + 21) + (6x - 21)$

Теперь упростим уравнение:

$0 = 3x^{2} - 21x + 21 + 6x - 21$

$0 = 3x^{2} - 15x$

3. Теперь факторизуем это уравнение:

$3x(x - 5) = 0$

Теперь решим для $x$:

1. $3x = 0$ => $x = 0$
2. $x - 5 = 0$ => $x = 5$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $x$ для точек минимума: $x = 0$ и $x = 5$.

4. Чтобы определить, какая из этих точек является точкой минимума, давайте вычислим вторую производную и проверим ее значение в каждой из точек.

Для вычисления второй производной $y''(x)$ просто возьмем производную от $y'(x)$:

$y''(x) = \frac{d}{dx}(y'(x))$

Сначала найдем производную $y'(x)$:

$y'(x) = (3x^{2} - 21x + 21)e^{x - 21} + e^{x - 21}(6x - 21)$

Теперь вычислим производную этой функции:

$y''(x) = (3x^{2} - 21x + 21) \frac{d}{dx}(e^{x - 21}) + e^{x - 21} \frac{d}{dx}(6x - 21)$