Question

Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение: x * (y') + y= - xy^2

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Оно является уравнением первого порядка и не разрешено относительно производной y'. Мы можем попробовать преобразовать его в уравнение, разрешенное относительно y', и затем решить его.

Исходное уравнение: x * y' + y = -x * y^2

Давайте выразим y': x * y' = -y - x * y^2

Теперь поделим обе стороны на x: y' = (-y - x * y^2) / x

Теперь у нас есть уравнение, разрешенное относительно y'. Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте выразим y' в левой части и разделим переменные:

dy/dx = (-y - x * y^2) / x

Теперь переместим переменные так, чтобы y-связанные члены находились с левой стороны, а x-связанные члены с правой стороны:

dy / (-y - x * y^2) = dx / x

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интегралы можно провести следующим образом:

∫(1 / (-y - x * y^2)) dy = ∫(1 / x) dx

Интегралы легче проводить, если воспользуемся частичной дробью слева:

∫(1 / y) dy - ∫(x / (1 + x * y)) dy = ∫(1 / x) dx

Первый интеграл легко решается как ln|y|, второй интеграл может быть решен заменой переменной:

u = 1 + x * y du = x * dy

Теперь мы имеем:

∫(1 / y) dy - ∫(1/u) du = ∫(1 / x) dx

ln|y| - ln|u| = ln|x| + C

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y| / |u| = |x| * e^C

Поскольку константа e^C также может быть представлена как другая константа, давайте обозначим ее как K:

|y| / |u| = K * |x|

Теперь у нас есть общее выражение. Рассмотрим случаи с положительным и отрицательным знаками:

1. Если y и x оба положительны или оба отрицательны, то:

y / u = K * x

2. Если y положительно, а x отрицательно, то:

y / u = -K * x

3. Если y отрицательно, а x положительно, то:

-y / u = K * x

4. Если y и x оба отрицательны, то:

-y / u = -K * x

Теперь давайте вернемся к определению u:

u = 1 + x * y

Рассмотрим уравнение для случая, когда y и x оба положительны или оба отрицательны (случай 1):

y / (1 + x * y) = K * x

Решая это уравнение относительно y, мы получим:

y = (K * x) / (1 - K * x * y)

Это окончательное решение дифференциального уравнения. Помните, что K - произвольная постоянная.