Question

Найти производную (tgx(cosx+2))' ((cos2x+sin2x)^3)' (5x-2/sinx)' cos(3x^3+4x+2))' (√5-√cosx)'.

Answer 1

Решение
1)  (tgx(cosx+2))' = 1/cos²[x*(cosx + 2)] * [(cosx + 2) - x*sinx] =
= [(cosx + 2) - x*sinx] / cos²[x*(cosx + 2)]
2)  ((cos2x+sin2x)^3)' = 3*(cos2x + sin2x)² * (- 2sin2x) * (2cos2x) = 
= - 6 * sin4x * (cos2x + sin2x)² 
3)  (5x-2/sinx)' = 5 + 2sinx cosx = 5 + sin2x
cos(3x^3+4x+2))' = - sin(3x^3+4x+2) * (9x² + 4)
(√5-√cosx)' = - [1 / (2√cosx)] * (- sinx) = sinx / (2√cosx)

Answer 2

Давайте найдем производные каждого из этих выражений по отдельности:

1. Начнем с первого выражения: (tgx(cosx+2))'. Для этого используем правило производной произведения: (uv)' = u'v + uv'. u = tgx, v = (cosx + 2). Теперь найдем производные: u' = sec^2(x) v' = -sinx Теперь используем правило: (tgx(cosx+2))' = (sec^2(x))(cosx + 2) - tgx(sinx) = sec^2(x)(cosx + 2) - tgxsinx.

2. Второе выражение: ((cos2x+sin2x)^3)'. Используем цепное правило: (f(g(x))^n)' = n * (f(g(x))^(n-1)) * f'(g(x)) * g'(x). Здесь f(u) = u^3, g(x) = cos2x + sin2x. f'(u) = 3u^2 g'(x) = (-2sin2x + 2cos2x) Применяем цепное правило: ((cos2x+sin2x)^3)' = 3((cos2x+sin2x)^2) * 3(cos2x+sin2x)^2 * (-2sin2x + 2cos2x).

3. Третье выражение: (5x-2/sinx)'. Используем правило производной разности: (u - v)' = u' - v'. u = 5x, v = 2/sinx. u' = 5 v' = (-2cosx/sinx^2) Теперь применяем правило: (5x - 2/sinx)' = 5 - (-2cosx/sinx^2) = 5 + 2cosx/sinx^2.

4. Четвертое выражение: (cos(3x^3+4x+2))'. Используем правило производной косинуса: (cos(u))' = -sin(u) * u'. Здесь u = 3x^3 + 4x + 2. u' = 9x^2 + 4 Теперь применяем правило: (cos(3x^3+4x+2))' = -sin(3x^3+4x+2) * (9x^2 + 4).

5. Пятое выражение: (√5 - √cosx)'. Используем правило производной корня: (√u)' = (1/2√u) * u'. Здесь u = 5 - cosx. u' = sinx Теперь применяем правило: (√5 - √cosx)' = (1/(2√(5 - cosx))) * sinx.

Теперь, чтобы найти производную всего выражения, умножим все эти производные вместе:

(1) * (2) * (3) * (4) * (5) = (sec^2(x)(cosx + 2) - tgxsinx) * (3((cos2x+sin2x)^2) * (3(cos2x+sin2x)^2 * (-2sin2x + 2cos2x)) * (5 + 2cosx/sinx^2) * (-sin(3x^3+4x+2) * (9x^2 + 4)) * (1/(2√(5 - cosx))) * sinx.

Это и есть производная данного выражения.