Question

Y=x^4-8x^2-9 промежуток [-3;3] Найти: а)критические точки функции б) экстремумы функции в) наибольшее и наименьшее значении функции на указанном промежутке

Answer 1

Производная = 4x^3-16x  производная равна 0 при х=0 или+-2 -критические точки
максимум х=0 минимум х= + - 2
х=+-3 у= 0 -наибольшее
х=0  у=-9
х=+-2 у= - 2 5 -наименьшее

Answer 2

Для нахождения критических точек, экстремумов и наибольших/наименьших значений функции $y = x^4 - 8x^2 - 9$ на указанном интервале $[-3, 3]$, мы будем использовать производные функции.

а) Критические точки функции:

1. Начнем с нахождения производной функции $y$: $y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 - 9)$ $y' = 4x^3 - 16x$

2. Теперь найдем критические точки, где производная $y'$ равна нулю: $4x^3 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель: $4x(x^2 - 4) = 0$

Теперь решим уравнение $4x = 0$ и $x^2 - 4 = 0$:

• $4x = 0$: Это дает нам одну критическую точку $x = 0$.
• $x^2 - 4 = 0$: Это уравнение дает нам две дополнительные критические точки: $x = -2$ и $x = 2$.

Итак, у нас есть три критические точки: $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$.

б) Экстремумы функции:

Для определения типа экстремума (минимум или максимум), мы можем использовать вторую производную. Если $y''(x) > 0$, то это минимум, и если $y''(x) < 0$, то это максимум.

1. Найдем вторую производную функции $y$: $y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x)$ $y'' = 12x^2 - 16$

2. Теперь вычислим $y''$ в критических точках:

• Для $x = -2$: (y''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 16 - 16 = 0.
• Для $x = 0$: (y''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16.
• Для $x = 2$: (y''(2) = 12(2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32.

Теперь мы видим, что:

• Для $x = -2$, $y''(-2) = 0$, поэтому мы не можем сказать, является ли это минимумом или максимумом.
• Для $x = 0$, $y''(0) < 0$, поэтому это максимум.
• Для $x = 2$, $y''(2) > 0$, поэтому это минимум.

Итак, у нас есть один максимум при $x = 0$ и один минимум при $x = 2$.

в) Наибольшее и наименьшее значение функции на указанном интервале:

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале $[-3, 3]$, мы можем вычислить значение функции в критических точках и на граничных точках интервала.

1. В критической точке $x = 0$ (максимум): $y(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 - 9 = -9$

2. В критической точке $x = 2$ (минимум): $y(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$

3. На граничных точках интервала:

• При $x = -3$: $y(-3) = (-3)^4 - 8 \cdot (-3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$

• При $x = 3$: $y(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$

Итак, наибольшее значение функции на интервале $[-3, 3]$ равно 0, и оно достигается в точках $x = -3$ и $x = 3$, а наименьшее значение функции равно -25 и достигается в точке $x = 2$