Question

Числовая последовательность Xn=3n^2-1/4n^2+1 , A=3/4, E=10^-3. Задание: найти 2-й, 100-й, n+1 члены последовательности Проверить, является ли монотонной Доказать, что lim Xn =A, определив для E f 0 число N=N (E) такое, что для любого n f N |Xn-A| p E.     Lim Xn > бесконечности

Answer 1

x2=3*2^2-1/4*2^2+1=12-1/16+1=$12\frac{15}{16}$

x100=3*100^2-1/4*100^2+1=30000+1-1/40000=30000\frac{39999}{40000}

последовательность является строго монотонной возрастающей, но не имеет предела, так что это доказать невозможно. Строго монотонна она потому что при неограниченном возрастании n первое слагаемое в рекурентной формуле неограниченно возрастает, а второе слагаемое постоянно убывает, в то время как 3е остается неизменным. То есть на каждом новом шаге мы все из большего вычитаем все меньшее. А предела не имеет так как послеовательноть не является ограниченной, это раз, и не выполняется критерий коши для сходимости последовательности, т.е. она не является фундаментальной, это 2

Забыл: Xn+1=$3{(n+1)}^{2}-\frac{1}{4{(n+1)}^{2}}+1$ 

Answer 2

Давайте поэтапно выполним каждую часть задания.

1. Найдем 2-й, 100-й и (n+1)-й члены последовательности:

   a. 2-й член (n=2): X2 = 32^2 - 1 / (42^2 + 1) = (12 - 1) / (16 + 1) = 11/17

   b. 100-й член (n=100): X100 = 3100^2 - 1 / (4100^2 + 1) = (30000 - 1) / (40000 + 1) = 29999/40001

   c. (n+1)-й член: X(n+1) = 3*(n+1)^2 - 1 / (4*(n+1)^2 + 1)

2. Проверим, является ли последовательность монотонной:

   Для этого мы можем найти производную функции Xn и определить ее знак. Если производная положительна (Xn возрастает) или отрицательна (Xn убывает) на интервале n>=N, то последовательность монотонна. Вычислим производную:

   Xn = (3n^2 - 1) / (4n^2 + 1)

   d(Xn)/dn = (d/dn)(3n^2 - 1) / (4n^2 + 1)

   d(Xn)/dn = (6n) / (4n^2 + 1)^2

   Производная положительна, если 6n > 0 и (4n^2 + 1)^2 > 0. Это верно для всех положительных n. Значит, последовательность монотонно возрастает.

3. Доказательство предела:

   Мы должны доказать, что lim(Xn) при n стремящемся к бесконечности равен A = 3/4. Для этого нужно найти такое N, что для всех n >= N выполняется |Xn - A| < E.

   |Xn - A| = |(3n^2 - 1) / (4n^2 + 1) - 3/4|

   Теперь давайте рассмотрим это выражение и попробуем оценить его:

   |Xn - A| = |(3n^2 - 1) / (4n^2 + 1) - 3/4| = |(3n^2 - 1) / (4n^2 + 1) - (3n^2 + 3 - 3) / (4n^2 + 1)|

   |Xn - A| = |(3n^2 - 3n^2 - 1 + 3) / (4n^2 + 1)| = |(-1 + 3) / (4n^2 + 1)| = |2 / (4n^2 + 1)|

   Теперь давайте поставим условие, что |2 / (4n^2 + 1)| < E:

   2 / (4n^2 + 1) < E

   4n^2 + 1 > 2 / E

   4n^2 > 2 / E - 1

   n^2 > (2 / E - 1) / 4

   n > √((2 / E - 1) / 4)

   Теперь мы нашли N, которое удовлетворяет условию для любого E. Таким образом, мы доказали, что lim(Xn) при n стремящемся к бесконечности равен A = 3/4.

4. Последний пункт утверждает, что lim(Xn) равно бесконечности. Однако, как показано в пункте 3, мы доказали, что lim(Xn) равен A = 3/4, а не бесконечности.