Question

Квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет корни 1/12 и -1/7. Найдите модуль разности корней квадратного уравнения cx²+bx+a=0.

Answer 1

Ответ:

Модуль разности корней заданного квадратного уравнения равен 19

Решение:

Рассмотрим первое квадратное уравнение и его корни:

$ax^2+bx+c=0;\ x_1=\dfrac{1}{12} ;\ x_2=-\dfrac{1}{7}$

Воспользовавшись теоремой Виета, найдем:

$-\dfrac{b}{a} =x_1+x_2=\dfrac{1}{12} +\left(-\dfrac{1}{7} \right)=\dfrac{1}{12} -\dfrac{1}{7}=\dfrac{7-12}{12\cdot7} =-\dfrac{5}{84}$

$\dfrac{c}{a} =x_1x_2=\dfrac{1}{12} \cdot\left(-\dfrac{1}{7} \right)=-\dfrac{1\cdot1}{12\cdot7} =-\dfrac{1}{84}$

Рассмотрим второе квадратное уравнение:

$cx^2+bx+a=0$

Сначала выразим модуль разности корней через сумму и произведение корней:

$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2} =\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2} =$

$=\sqrt{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-2x_1x_2} =\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$

Используя теорему Виета, выразим сумму и произведение корней второго уравнения через его коэффициенты:

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{c}$

$x_1x_2=\dfrac{a}{c}$

Нужные значения можно найти, используя ранее найденные значения -b/a и c/a:

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{c}=-\dfrac{b}{a} :\dfrac{c}{a} =-\dfrac{5}{84} :\left(-\dfrac{1}{84} \right)=\dfrac{5}{84} \cdot 84=5$

$x_1x_2=\dfrac{a}{c}=1:\dfrac{c}{a}=1:\left(-\dfrac{1}{84}\right)=1\cdot(-84)=-84$

Подставляем значение в выражение для модуля разности корней:

$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=$

$=\sqrt{5^2-4\cdot(-84)}=\sqrt{25+336}=\sqrt{361} =\boxed{19}$

Элементы теории:

Теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения равна отношению второго коэффициента к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту.

То есть, для уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ x_1x_2=\dfrac{c}{a} \end{cases}$

Answer 2

Для начала давайте найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, используя известные корни 1/12 и -1/7.

Сумма корней: Сумма корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна -b/a. В данном случае:

• Сумма корней = -b/a = 1/12 - 1/7

Теперь найдем произведение корней: Произведение корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равно c/a. В данном случае:

• Произведение корней = c/a = (1/12) * (-1/7)

Теперь у нас есть сумма и произведение корней исходного уравнения. Мы можем использовать их, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения cx² + bx + a = 0.

Сумма корней нового уравнения:

• Сумма корней = -b/a = -(1/12 - 1/7) = -((7 - 12) / 84) = -(-5/84) = 5/84

Произведение корней нового уравнения:

• Произведение корней = c/a = (1/12) * (-1/7) = -1/84

Теперь мы знаем сумму и произведение корней нового уравнения cx² + bx + a = 0. Чтобы найти модуль разности корней, нам нужно вычислить модуль разницы между этими корнями.

Модуль разности корней = |(сумма корней) - (произведение корней)| = |(5/84) - (-1/84)| = |(5/84 + 1/84)| = |(6/84)| = |(1/14)|

Ответ: Модуль разности корней уравнения cx² + bx + a = 0 равен 1/14.