Question

Знайдіть критичні точки функції f(x)=x^2-2x^3

Answer 1

$f(x) = - 2 {x}^{3} + {x}^{2} \\ f '(x) = - 3 \times 2 {x}^{2} + 2x = - 6x {}^{2} + 2x \\ - 6 {x}^{2} + 2x = 0 \\ 6 {x}^{2} - 2x = 0 \\ {x}^{2} - \frac{1}{3} x = 0 \\ x(x - \frac{1}{3} ) = 0 \\ - - - - [0] + + + + [ \frac{1}{3} ] - - - - \\ x_{min} =0 \\ x_{ max} = \frac{1}{3}$

Answer 2

Щоб знайти критичні точки функції $f(x) = x^2 - 2x^3$, спершу знайдемо похідну цієї функції та прирівняємо її до нуля. Критичні точки визначаються тими значеннями $x$, де похідна $f'(x)$ дорівнює нулю.

1. Знайдемо похідну $f'(x)$ функції $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x^3)$

Використовуючи правила похідності, отримуємо:

$f'(x) = 2x - 6x^2$

2. Тепер прирівняємо $f'(x)$ до нуля та розв'яжемо рівняння:

$2x - 6x^2 = 0$

Ділимо обидві сторони на 2:

$x - 3x^2 = 0$

Факторизуємо ліву сторону:

$x(1 - 3x) = 0$

Розв'язуємо для $x$:

1. $x = 0$
2. $1 - 3x = 0$

Для $1 - 3x = 0$, отримуємо:

$1 = 3x$ $x = \frac{1}{3}$

Таким чином, критичні точки функції $f(x) = x^2 - 2x^3$ - це $x = 0$ та $x = \frac{1}{3}$.