Question

Знайти m,при якому система не має розв’язку:

Answer 1

Каждое уравнение системы

$\left \{ {{a_{1}x+b_{1}y=c_{1}} \atop {a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}} \right.$

задает прямую.

Система не будет иметь решений, если прямые параллельны:

$\frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

$a_{1}=3; b_{1}=-m; c_{1}=8$

$a_{2}=2; b_{2}=-4 ;c_{2}=2$

$\frac{3}{2}= \frac{-m}{-4}\neq \frac{8}{2}$   ⇒    $3\cdot (-4)=-2m$     ⇒     $m=6$

О т в е т. m=6

Answer 2

Для того чтобы найти значення m, при якому система лінійних рівнянь не має розв'язку, спробуймо розглянути систему рівнянь узагальненого вигляду:

a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2

Для того, щоб система не мала розв'язку, одна з можливостей - рівняння мають бути протиріччями, тобто вони не можуть бути виконані одночасно. Це можна досягнути, наприклад, якщо вони визначають паралельні прямі, які не перетинаються. Один з можливих способів це зробити - це зробити вектори нормалі до цих прямих пропорційними і місце перетину прямих визначити як нульовий вектор.

Спростимо систему рівнянь до цього вигляду:

a1x + b1y = c1
ka2x + kb2y = kc2

Де `k` - деяка константа. Тепер, щоб система не мала розв'язку, вектори `(a1, b1)` та `(ka2, kb2)` повинні бути пропорційними. Це означає, що `(a1, b1)` дорівнює `(ka2, kb2)` множеному на однакову константу `k`. Тобто:

a1 = ka2
b1 = kb2

Це є умовами, при яких система не має розв'язку. Тепер, для того, щоб знайти `m`, можна взяти, наприклад, `m = k`, і система не матиме розв'язку. Але можна взяти будь-яке значення `m`, і це буде вірно.

Отже, система не матиме розв'язку при будь-якому значенні `m`.