Question

Упростите выражение: LaTeX: \frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}

Answer 1

Объяснение:

$\frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha\cdot(sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha\cdot1 }{sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha } =\frac{1}{cos^2\alpha } .$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, необходимо использовать свойства тригонометрических функций.

1. Разложим $\sin^4\alpha$ на множители:

$\sin^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2$

2. Разложим $\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha$ на множители:

$\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha = (\cos\alpha\cdot\sin\alpha)^2$

3. Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha} = \frac{(\sin^2\alpha)^2 + (\cos\alpha\cdot\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha\cdot\sin\alpha)^2}$

4. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}$

5. Заметим, что числитель и знаменатель имеют одинаковые слагаемые:

$\frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}$

6. В итоге, получаем:

$\frac{\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha} = 1$

Таким образом, данное выражение упрощается до 1.