Question

Исследуйте и постройте график функции f(x). Найдите наибольшее и наименьшее этой функции на заданном отрезке. f(x)=-x^4/4+2x^2-7/4 [-1;2]​

Answer 1

Ответ:

F (x)=(X^2-2x)^2

F (x)=x^4-4x^2

Answer 2

Для исследования функции f(x) на заданном отрезке [-1; 2] и поиска её наибольшего и наименьшего значений, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производные функции f(x).
2. Найдем критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Определим интервалы увеличения и уменьшения функции.
4. Найдем значения функции на концах заданного интервала и в критических точках.
5. Определим наибольшее и наименьшее значения функции на интервале.

Шаг 1: Найдем производные функции f(x):

f(x) = -x^4/4 + 2x^2 - 7/4 f'(x) = -(4x^3)/4 + 4x = -x^3 + 4x

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

-x^3 + 4x = 0 x(-x^2 + 4) = 0

Таким образом, x = 0 и x = ±2 - это критические точки.

Шаг 3: Определим интервалы увеличения и уменьшения функции с использованием тестовых точек. Мы можем использовать значения производной на этих интервалах:

Выберем тестовые точки: -2 (меньше -2), 1 (между -2 и 0), и 3 (больше 2).

Проверим значения производной в этих точках: f'(-2) = -(-2)^3 + 4(-2) = -8 - 8 = -16 (отрицательное) f'(1) = -(1)^3 + 4(1) = 3 (положительное) f'(3) = -(3)^3 + 4(3) = -27 + 12 = -15 (отрицательное)

Теперь мы можем определить интервалы:

• Функция увеличивается на интервале (-∞, -2) и (0, 2).
• Функция уменьшается на интервале (-2, 0) и (2, +∞).

Шаг 4: Найдем значения функции на концах заданного интервала и в критических точках:

f(-1) = -(-1)^4/4 + 2(-1)^2 - 7/4 = -1/4 + 2 - 7/4 = 1 - 7/4 = -3/4 f(2) = -(2)^4/4 + 2(2)^2 - 7/4 = -16/4 + 8 - 7/4 = -4 + 8 - 7/4 = 4 - 7/4 = 9/4

Теперь найдем значения функции в критических точках: f(0) = -(0)^4/4 + 2(0)^2 - 7/4 = 0 - 0 - 7/4 = -7/4 f(2) = -(2)^4/4 + 2(2)^2 - 7/4 = 9/4

Шаг 5: Определим наибольшее и наименьшее значения функции на интервале [-1, 2]:

• Наименьшее значение функции f(x) на интервале [-1, 2] равно -7/4 и достигается в критической точке x = 0.
• Наибольшее значение функции f(x) на интервале [-1, 2] равно 9/4 и достигается в точке x = 2.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на интервале [-1, 2] равно 9/4, а наименьшее значение равно -7/4.