Question

Добуток двох послідовних натуральних чисел на 109 більше за їх суму Знайдіть ці числа

Answer 1

Нехай дані послідовні натуральні числа – х і х+1. Тоді:

$x(x + 1) = 109 + (x + x + 1) \\ {x}^{2} + x = 109 + 2x + 1 \\ {x}^{2} - x - 110 = 0 \\ D = 1 + 4 \times 110 = 441 = {21}^{2} \\ x_{1} = \frac{1 + 21}{2} =11 \\ x_{2} = \frac{1 - 21}{2} = - 10$

x₂ – не задовільняє умові, так як числа мають бути натуральними. Значить дані числа – 11 і 12.

Відповідь: 11 і 12.

Answer 2

Позначимо ці два послідовні натуральні числа як $x$ і $x+1$.

За умовою завдання, ми можемо записати таке рівняння:

$x(x+1) = x^2 + x$

Також відомо, що цей вираз більше за $109$ більше за їх суму:

$x^2 + x > x + (x+1) + 109$

Розкриваємо дужки:

$x^2 + x > 2x + 110$

Прирівнюємо нулю та розв'язуємо квадратне рівняння:

$x^2 - x - 110 > 0$

Це рівняння можна розв'язати за допомогою факторизації:

$(x - 11)(x + 10) > 0$

Отже, ми маємо два інтервали, де ця нерівність може бути виконана: $(- \infty, -10)$ або $(11, +\infty)$. Оскільки ми шукаємо натуральні числа, то відповідь - $x = 11$. Це означає, що два послідовних натуральних числа - $11$ і $12$.