Question

Про числа x, y, z известно, что (x — y) (x + y) = 3z² и z² — 2xy = 2Найдите

Answer 1

Решение на фото внизу

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнения:

1. $(x - y)(x + y) = 3z^2$
2. $z^2 - 2xy = 2$

Давайте сначала рассмотрим уравнение (1). Мы видим, что левая сторона является разностью квадратов (a difference of squares):

$(x - y)(x + y)$

Известно, что разность квадратов может быть представлена в виде:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Сравнивая это с уравнением (1), мы видим, что $a = x - y$ и $b = x + y$. Таким образом, мы можем записать:

$(x - y)(x + y) = 3z^2$ как $(x - y)^2 = 3z^2$

Теперь мы можем преобразовать уравнение (2) в вид:

$z^2 = 2xy + 2$

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение (1):

$(x - y)^2 = 3(2xy + 2)$

Раскроем квадрат слева:

$x^2 - 2xy + y^2 = 6xy + 6$

Теперь, чтобы избавиться от $2xy$ с обеих сторон уравнения, выразим $2xy$ в одном члене:

$x^2 - 2xy + y^2 - 6xy = 6$

Теперь объединим $x^2$ и $y^2$ в одну сумму квадратов:

$(x^2 + y^2) - 8xy = 6$

Теперь, у нас есть следующее уравнение:

$x^2 + y^2 - 8xy = 6$

Теперь мы можем попытаться найти решения для $x$ и $y$, учитывая, что у нас есть ограничение в виде уравнения (2):

$z^2 = 2xy + 2$

Мы можем использовать это уравнение для нахождения значения $2xy$:

$2xy = z^2 - 2$

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$x^2 + y^2 - 8(z^2 - 2) = 6$

Упростим это уравнение:

$x^2 + y^2 - 8z^2 + 16 = 6$

Теперь выразим $x^2 + y^2$ и упростим далее:

$x^2 + y^2 = 8z^2 - 10$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 8z^2 - 10$
2. $z^2 = 2xy + 2$

Вы можете решить эту систему уравнений, чтобы найти значения $x$, $y$ и $z$.