Question

(1+y^2)dx+2xydy=0. Решите

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\dfrac{2y}{1+y^2}dy=-\dfrac{dx}{x}$

Проинтегрируем обе части уравнения, получим

$\displaystyle \int\dfrac{2ydy}{1+y^2}=-\int\dfrac{dx}{x}~~~~\Rightarrow~~~ \int\dfrac{d(1+y^2)}{1+y^2}=-\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \ln|1+y^2|=-\ln|x|+\ln C\\ \\ 1+y^2=\dfrac{C}{x}\\ \\ y=\pm\sqrt{\dfrac{C}{x}-1}$

Получили общее решение.

Ответ: $y=\pm\sqrt{\dfrac{C}{x}-1}$

Answer 2

Для решения этого дифференциального уравнения, вы можете использовать метод разделения переменных. Ваше уравнение имеет вид:

(1 + y^2)dx + 2xydy = 0

Давайте разделим переменные и переместим члены с y и x на разные стороны уравнения:

(1 + y^2)dx = -2xydy

Теперь давайте разделим обе стороны уравнения на (1 + y^2) и на -2x:

(dx / 2x) = -dy / (1 + y^2)

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/2x) dx = -∫(1/(1 + y^2)) dy

Для левой стороны, мы получаем:

(1/2)ln|x| + C1, где C1 - это постоянная интеграции.

Для правой стороны, мы можем воспользоваться арктангенсом (тангенсом обратным):

-∫(1/(1 + y^2)) dy = -arctan(y) + C2, где C2 - это другая постоянная интеграции.

Теперь объединим обе стороны уравнения и учтем обе константы интеграции:

(1/2)ln|x| - arctan(y) = C

Где C = C1 + C2 - это общая постоянная интеграции.

Таким образом, решение дифференциального уравнения:

(1 + y^2)dx + 2xydy = 0

это:

(1/2)ln|x| - arctan(y) = C, где C - произвольная константа.