Question

Номер 15.40розв'язати нерівність (√5-2)^x+(√5+2)<2√5

Answer 1

Ответ:

x<1

x есть (-∞; 1)

Объяснение:

${( \sqrt{5} - 2)}^{x} + ( \sqrt{5} + 2) < 2 \sqrt{5} \\ {( \sqrt{5} - 2)}^{x} < 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} - 2 \\ {( \sqrt{5} - 2)}^{x} < \sqrt{5} - 2 \\ {( \sqrt{5} - 2)}^{x} < {( \sqrt{5} - 2 )}^{1} \\ x < 1$

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності потрібно врахувати такі правила:

1. Обидві сторони нерівності можна піднести до ступеня, щоб позбутися коренів.
2. Зменшити вирази та спростити нерівність.
3. Знайти інтервали, де нерівність виконується.

Почнемо з першого кроку:

(√5 - 2)^x + (√5 + 2) < 2√5

Тепер піднесемо обидві сторони до ступеня:

(√5 - 2)^x + (√5 + 2) < 2√5 [(√5 - 2)^x + (√5 + 2)]^2 < (2√5)^2

Тепер спростимо вирази:

(√5 - 2)^2 = 5 - 4√5 + 4 (√5 + 2)^2 = 5 + 4√5 + 4 (2√5)^2 = 20

Отримаємо наступне:

(5 - 4√5 + 4)^x + (5 + 4√5 + 4) < 20

Тепер спростимо доданки:

(9 - 4√5)^x + (9 + 4√5) < 20

Тепер можемо розділити обидві сторони на (9 + 4√5):

[(9 - 4√5)^x + (9 + 4√5)] / (9 + 4√5) < 20 / (9 + 4√5)

Тепер ми маємо наступну нерівність:

(9 - 4√5)^x + (9 + 4√5) / (9 + 4√5) < 20 / (9 + 4√5)

Зараз можемо спростити обидві сторони:

(9 - 4√5)^x + 1 < 20 / (9 + 4√5)

Тепер віднімемо 1 від обох сторін:

(9 - 4√5)^x < 20 / (9 + 4√5) - 1

(9 - 4√5)^x < (20 - 9 - 4√5) / (9 + 4√5)

(9 - 4√5)^x < (11 - 4√5) / (9 + 4√5)

Тепер ми можемо виразити x:

x < log((11 - 4√5) / (9 + 4√5)) / log(9 - 4√5)

Знаючи значення логарифмів, ми можемо обчислити нерівність на калькуляторі.

Зверніть увагу, що розв'язок може бути дійсним лише в тому випадку, коли (11 - 4√5) / (9 + 4√5) менше за одиницю. Якщо ви знайдете, що ця умова не виконується, то розв'язку не існує для даної нерівності.