Question

Решите, пожалуйста, уравнение.(х-1)^6 + (х+1)^6 = 64

Answer 1

(х-1)⁶ + (х+1)⁶ = 64

(х-1)⁶ + (х+1)⁶ = 2⁶

Возможно решение в целых числах, если одна из скобок равна 2 или (-2), а другая равна 0.

Иначе:

1)

{x-1=0

{x+1=2 при х = 1

Проверим х=1.

(1-1)⁶ + (1+1)⁶ = 64

         0⁶+2⁶=64

              64=64  - верное равенство

2)

{x-1= -2

{x+1=0 при х = - 1

Проверим х= -1.

(-1-1)⁶ + (-1+1)⁶ = 64

         (-2)⁶+0⁶=64

              64=64  верное равенство

Ответ: {- 1;  1}

Answer 2

Для решения уравнения $(x-1)^6 + (x+1)^6 = 64$, мы можем воспользоваться заменой. Давайте введем новую переменную $u = x^6$. Тогда уравнение примет вид:

$(u - 2u + 1) + (u + 2u + 1) = 64$

Упростим его:

$-u + 2u + 1 + u + 2u + 1 = 64$

Теперь объединим подобные члены:

$4u + 2 = 64$

Выразим $u$:

$4u = 64 - 2$

$4u = 62$

$u = \frac{62}{4}$

$u = 15.5$

Теперь мы должны вернуться к переменной $x$, используя $x^6 = u$:

$x^6 = 15.5$

Чтобы найти значения $x$, возведем обе стороны уравнения в шестую степень:

$x = \pm \sqrt[6]{15.5}$

$x \approx \pm 1.657$

Таким образом, уравнение $(x-1)^6 + (x+1)^6 = 64$ имеет два приближенных решения $x \approx 1.657$ и $x \approx -1.657$.