Question

Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна — фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна — фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.

Answer 1

Очевидно, что первым взвешиванием нужно положить на обе чаши весов по одной любой монете.

После первого взвешивания возможны 2 варианта:

1). Весы находятся в равновесии. - Откладывем обе монеты в сторону, считая их настоящими.

Повторяем взвешивание двух из трех оставшихся монет. Равновесия в этом случае не будет, так как из трех монет только одна настоящая.

Таким образом, после второго взвешивания получаем неравновесное положение весов. Запоминаем положение стрелки весов и меняем ту монету, которая легче, на последнюю оставшуюся.

Если стрелка весов уйдет в больший перевес, то на весах находятся обе фальшивые монеты.

Если в меньший перевес, то та монета, которую сняли с весов после второго взвешивания, - фальшивая с недовесом, а на более тяжелой чаше весов - фальшивая с перевесом.

Если чаша, на которой поменяли монету, перевесила, то на ней - фальшивая с перевесом, а та, которую сняли, - фальшивая с недовесом.

2). Весы не в равновесии. Запоминаем положение стрелки весов и меняем ту монету, которая легче, на одну из трех оставшихся.

Во втором взвешивании возможны 3 варианта положения весов:

Если весы пришли в равновесие, то на них обе монеты настоящие, а та, которую сняли, - фальшивая с недовесом. Оставшиеся 2 монеты - настоящая и фальшивая с перевесом, - определяются третьим взвешиванием.

Если весы ушли в больший перевес, то на весах находятся обе фальшивые монеты.

Если чаша, на которой поменяли монету, перевесила, то на ней - фальшивая с перевесом, а та, которую сняли, - фальшивая с недовесом.

Answer 2

Для определения обеих фальшивых монет за три взвешивания можно воспользоваться следующей стратегией:

1. Разделите 5 монет на 3 группы: две группы по две монеты и одну группу из одной монеты.

   Группа 1: 2 монеты Группа 2: 2 монеты Группа 3: 1 монета

2. Первое взвешивание: Положите по одной монете из Группы 1 на левую и правую чашу весов. Если одна из монет весит больше, чем другая, то фальшивая монета среди них. Если они весят одинаково, то фальшивая монета находится в Группе 2 или 3.

3. Если после первого взвешивания у вас есть результат (одна из монет из Группы 1 тяжелее или легче), перейдите к шагу 4. Если монеты из Группы 1 весят одинаково, перейдите к шагу 5.

4. Второе взвешивание: Возьмите две монеты из Группы 2 (которая не была взвешена ранее) и положите их на левую и правую чашу весов. Вы сможете определить, какая из этих монет тяжелее или легче. Это будет второй фальшивой монетой.

5. Третье взвешивание (если после первого взвешивания монеты из Группы 1 весят одинаково): Возьмите любые две монеты из Группы 3 (одной из них точно фальшивая) и положите их на левую и правую чашу весов. Если они весят одинаково, то фальшивая монета была в Группе 1 и вы уже определили её на первом взвешивании. Если они весят по-разному, то определите, какая из них тяжелее или легче. Это будет второй фальшивой монетой.

Таким образом, за три взвешивания вы сможете определить обе фальшивые монеты.