Question

Решите пожалуйста (x-1)lg2=1-lg(1+2^x)

Answer 1

Ответ:

х = 2

Объяснение:

Придадим этому уравнению немного эстетичный вид, проведя несколько преобразований

$(x-1)\lg2 = \lg 2 ^{x-1}$

$1 - \lg(1+2^x)=\lg10 - \lg(1+2^x) = \lg(\frac{10}{1+2^x})$

Получим уравнение

$\lg 2^{x-1} = \lg(\frac{10}{1+2^x})\\2^{x-1} = \frac{10}{1+2^x}\\2^{x-1}+2^{2x-1} = 10$

10, оказывается, можно разложить в сумму степеней двоек: 2 и 8, а так можно разложить только в случае x = 2. Это и будет ответом.

Нетрудно показать, что каких-то других корней не существует, так как левая часть уравнения $2^{x-1} + 2^{2x-1}$ - сумма монотонно возрастающих функций - есть функция монотонно возрастающая

Answer 2

Давайте решим уравнение $(x-1)\log_2(2) = 1 - \log_{10}(1 + 2^x)$.

Учитывая, что $\log_2(2) = 1$, уравнение упрощается до $x - 1 = 1 - \log_{10}(1 + 2^x)$.

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

$x - 1 + \log_{10}(1 + 2^x) = 1$

Теперь давайте поработаем с логарифмом. Преобразуем его в степень:

$x + \log_{10}(1 + 2^x) = 2$

Теперь избавимся от логарифма, применив 10 к обеим сторонам:

$10^x \cdot (1 + 2^x) = 10^2$

$10^x + 2^{2x} = 100$

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида $2^{2x} + 10^x - 100 = 0$. Решение этого уравнения можно найти численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции. Однако точное аналитическое решение, вероятно, отсутствует, и его можно найти только численно.