Question

Решить уравнения: 1) 7cosx+9sinx=0 2) sin3xcos2x+cos3xsin2x= -1

Answer 1

1) делим на сosx

tgx=-7/9

x=arctg(-7/9)+Пk, k Z

2) sin5x=-1

5x=-п/2+ 2пк , к есть целое

x = -п/10 + 2пк/5к есть целое

Answer 2

Давайте начнем с первого уравнения:

1. 7cos(x) + 9sin(x) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Сначала выразим sin(x) через cos(x) с использованием тождества tan(x) = sin(x) / cos(x):

sin(x) = tan(x) * cos(x)

Теперь подставим это в уравнение:

7cos(x) + 9tan(x)cos(x) = 0

Теперь вынесем общий множитель cos(x):

cos(x)(7 + 9tan(x)) = 0

Теперь у нас есть два возможных случая:

a) cos(x) = 0 b) 7 + 9tan(x) = 0

a) Рассмотрим первый случай: cos(x) = 0

Это уравнение имеет бесконечно много решений вида x = π/2 + πn, где n - целое число.

b) Рассмотрим второй случай: 7 + 9tan(x) = 0

9tan(x) = -7

tan(x) = -7/9

Теперь найдем значение угла x, взяв арктангенс (-7/9):

x = arctan(-7/9)

Это уравнение также имеет бесконечно много решений, которые можно найти, добавляя к x кратные π:

x = arctan(-7/9) + πn, где n - целое число.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x) = -1

Здесь мы видим, что левая сторона уравнения представляет собой sin(3x + 2x), что равно sin(5x). Теперь у нас есть следующее уравнение:

sin(5x) = -1

Чтобы решить это уравнение, мы знаем, что синус равен -1 в точках π/2 + πn, где n - целое число. Таким образом, мы можем записать:

5x = π/2 + πn

Теперь разрешим x:

x = (π/2 + πn)/5

Таким образом, решения уравнения 2) имеют вид:

x = (π/2 + πn)/5, где n - целое число.

Answer 3

1. Уравнение 7cos(x) + 9sin(x) = 0:

Сначала поделим обе стороны уравнения на гипотенузу, чтобы нормализовать амплитуду:

(7/√(7^2 + 9^2))cos(x) + (9/√(7^2 + 9^2))sin(x) = 0

Теперь используем тригонометрическую идентичность sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) = sin(α + β):

sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) = sin(α + β)

В нашем случае α = x и β = arctan(9/7):

sin(x)cos(arctan(9/7)) + cos(x)sin(arctan(9/7)) = sin(x + arctan(9/7)) = 0

Теперь у нас есть sin(x + arctan(9/7)) = 0. Это уравнение будет выполняться, если x + arctan(9/7) равно кратным π числам (nπ, где n - целое число). Поэтому:

x + arctan(9/7) = nπ

x = nπ - arctan(9/7)

Это решение уравнения.

2. Уравнение sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x) = -1:

Используем тригонометрическую идентичность sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) = sin(α + β) для правой стороны уравнения:

sin(3x + 2x) = sin(5x) = -1

Теперь мы хотим найти значения x, при которых sin(5x) равен -1. Это происходит, когда угол 5x находится в четвертой четверти, то есть:

5x = π + 2nπ, где n - целое число

Решаем для x:

x = (π + 2nπ)/5, где n - целое число

Это решение уравнения.