Question

Найти область определения функции : 1)y=sqrt(4-x^2)/sin2x 2)y=(2x^2+3)/x-sqrt(x^2-4)

Answer 1

1) $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{sin2x};$

4-x²≥0;

x²≤4;

-2≤x≤2;

sin2x≠0;

2x≠πk;

x≠(π/2)k; k ∈ Z;

1,57 рад ≈ π/2, то есть -2 < π/2 < 0; и 0 < π/2 < 2;

x ∈ [-2;-π/2) ∪ (-π/2;0) ∪ (0;π/2) ∪ (π/2;2];

2)$\displaystyle y=\frac{2x^2+3}{x-\sqrt{x^2-4}};$

x-√(x²-4)≠0;

x²≠x²-4;∅

x²-4≥0;

x²≥4;

x ∈ (-∞;-2] ∪ [2;∞)

Answer 2

Давайте найдем область определения каждой из данных функций:

1. Для функции y = sqrt(4 - x^2) / sin(2x):

   В этой функции есть два ограничения на область определения:

   a) В знаменателе у нас есть sin(2x), и синусное значение равно нулю в точках, где 2x = k * π, где k - целое число. То есть sin(2x) = 0, когда x = k * π/2, где k - целое число. Эти точки должны быть исключены из области определения.

   b) В числителе у нас есть sqrt(4 - x^2), и под корнем не может быть отрицательное число. Значит 4 - x^2 должно быть больше или равно нулю. Решим это неравенство:

   4 - x^2 >= 0

   x^2 <= 4

   |x| <= 2

   Это означает, что x должно находиться в интервале [-2, 2].

   Таким образом, область определения функции y = sqrt(4 - x^2) / sin(2x) - это интервал (-2, 2), исключая точки, где x = k * π/2, где k - целое число.

2. Для функции y = (2x^2 + 3) / (x - sqrt(x^2 - 4)):

   В данной функции у нас есть два ограничения на область определения:

   a) Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому x - sqrt(x^2 - 4) ≠ 0. Чтобы найти, где это равенство не выполняется, решим уравнение:

   x - sqrt(x^2 - 4) = 0

   sqrt(x^2 - 4) = x

   x^2 - 4 = x^2

   Это уравнение не имеет решений, так как x^2 - 4 = 0 не имеет действительных корней.

   b) Под корнем у нас также не может быть отрицательное число. Значит, x^2 - 4 >= 0. Решим это неравенство:

   x^2 - 4 >= 0

   (x - 2)(x + 2) >= 0

   Это неравенство выполняется, когда x находится в интервалах (-бесконечность, -2] и [2, +бесконечность).

   Таким образом, область определения функции y = (2x^2 + 3) / (x - sqrt(x^2 - 4)) - это объединение двух интервалов: (-бесконечность, -2] и [2, +бесконечность), исключая точки, где x - sqrt(x^2 - 4) = 0, но таких точек нет.