Question

Найдите все целочисленные решение уравнения 3x^2y^2+4y^2=24x^2+48

Answer 1

$3 {x}^{2} {y}^{2} + 4 {y}^{2} = 24 {x}^{2} + 48 \\ (24 - 3 {y}^{2} ) {x}^{2} = 4 {y}^{2} - 48 \\ {x}^{2} = \frac{4 {y}^{2} - 48 }{24 - 3 {y}^{2} } = - \frac{4( {y}^{2} - 12) }{3( {y}^{2} - 8) } \geqslant 0 \\ \frac{( {y}^{2} - 12) }{( {y}^{2} - 8) } \leqslant 0 \\ \frac{(y -2 \sqrt{3})(y + 2 \sqrt{3} )}{(y - 2 \sqrt{2})(y + 2 \sqrt{2} ) } \leqslant 0$
Решая (на фото) получаем:
$- 2 \sqrt{3} \leqslant y < - 2 \sqrt{2} \: \: и \: \: 2 \sqrt{2} < y \leqslant 2 \sqrt{3}$
Этому условию удовлетворяет только у=-3 и у=3, подставляем:
${x}^{2} = - \frac{4( {3}^{2} - 12)}{3( {3}^{2} - 8)} = - \frac{4 \times ( - 3)}{3 \times 1} = 4 \\ x = 1 \: \: или \: \: x = - 1$
Т. к. у нас у^2, то при у=-3 будут те же корни.

Ответ: (-1;-3); (-1;3); (1;-3); (1;3).

Answer 2

Для нахождения всех целочисленных решений уравнения 3x^2y^2 + 4y^2 = 24x^2 + 48, давайте сначала упростим уравнение, выделив общие множители:

3x^2y^2 + 4y^2 = 24x^2 + 48.

Мы видим, что обе стороны уравнения имеют общий множитель 4:

4(y^2 + 1) = 4(6x^2 + 12).

Теперь делим обе стороны на 4:

y^2 + 1 = 6x^2 + 12.

Теперь выразим y^2:

y^2 = 6x^2 + 11.

Это уравнение является диофантовым уравнением, и мы будем искать целочисленные решения для (x, y).

1. Первое решение: x = 0.

Если x = 0, то уравнение принимает следующий вид:

y^2 = 11.

Теперь мы видим, что y^2 должно быть равно 11. Но уравнение y^2 = 11 не имеет целочисленных решений, так как 11 - простое число, и его единственные целые делители - 1 и 11.

2. Второе решение: y = 0.

Если y = 0, то уравнение принимает следующий вид:

1 = 6x^2 + 12.

Выразим x^2:

6x^2 = -11.

Это уравнение не имеет целочисленных решений, так как левая сторона кратна 6, а правая сторона -11.

3. Третье решение: x и y не равны 0.

Теперь мы будем искать решения, где и x, и y не равны 0. Поскольку у нас есть x^2 и y^2 в уравнении, мы заметим, что оба x и y должны быть четными числами, так как нечетные числа возводимы в квадрат дают нечетные результаты.

Давайте представим x и y как x = 2x' и y = 2y', где x' и y' - целые числа.

Уравнение принимает следующий вид:

4(x')^2(y')^2 = 24(2x')^2 + 48.

Упростим:

4(x')^2(y')^2 = 96(x')^2 + 48.

Разделим обе стороны на 4:

(x')^2(y')^2 = 24(x')^2 + 12.

Поделим обе стороны на (x')^2:

(y')^2 = 24 + 12/(x')^2.

Теперь мы видим, что (y')^2 должно быть равно целому числу, и это целое число должно быть 24 плюс некоторое целое число, деленное на квадрат некоторого целого числа (x')^2. Это несколько ограничивает возможные значения (y') и (x').

Поскольку 24 является четным числом, (y')^2 также будет четным, и это означает, что (y') должно быть четным. Поэтому давайте представим (y') как y' = 2y'', где y'' - целое число.

Теперь у нас есть:

(2y'')^2 = 24 + 12/(x')^2.

Упростим:

4(y'')^2 = 24 + 12/(x')^2.

Разделим обе стороны на 4:

(y'')^2 = 6 + 3/(x')^2.

Теперь у нас есть (y'')^2, которое должно быть равно некоторому целому числу, и это целое число должно быть 6 плюс некоторое целое число, деленное на квадрат некоторого целого числа (x')^2.

Поскольку 6 является четным числом, (y'')^2 также будет четным. Это означает, что (y'') должно быть четным. Давайте представим (y'') как y'' = 2y''', где y''' - целое число.

Теперь у нас есть:

(2y''')^2 = 6 + 3/(x')^2.

Упростим:

4(y''')^2 = 6 + 3/(x')^2.

Разделим обе стороны на 4:

(y''')^2 = 3/4 + 3/(4(x')^2).

Теперь у нас есть (y''')^2, которое должно быть равно некоторому целому числу, и это целое число должно быть 3/4 плюс некоторое целое число, деленное на 4(x')^2. Но 3/4 не является целым числом, поэтому у нас нет целых решений для этого случая.

Итак, уравнение 3x^2y^2 + 4y^2 = 24x^2 + 48 не имеет целочисленных решений, кроме тривиальных (0, 0).