Question

найдите первообразную F(x) для функции f(x),график которой проходит через точку M(a,b):f(x)=1+x\2, M(1;3)

Answer 1

• F(x)=x+x²/4+C
• F(1)=1+1/4+C
• 3=1,25+C,C=1,75
• F(x)=x+x²/4+1,75.

Answer 2

Чтобы найти первообразную \(F(x)\) для функции \(f(x)\), мы начнем с вычисления производной функции \(f(x)\). Затем мы найдем \(F(x)\) путем интегрирования этой производной.

Дано: \(f(x) = 1 + \frac{x^2}{2}\)

1. Найдем производную \(f'(x)\) функции \(f(x)\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx} \left(1 + \frac{x^2}{2}\right)\]

Используя правило дифференцирования, производной константы равна нулю, а производной \(\frac{x^2}{2}\) равна \(x\), мы получаем:

\[f'(x) = 0 + \frac{1}{2}x = \frac{x}{2}\]

2. Теперь мы будем искать первообразную \(F(x)\) для \(f'(x)\), то есть будем интегрировать \(f'(x)\):

\[F(x) = \int \frac{x}{2} dx\]

Интегрируя \(x/2\), мы получим:

\[F(x) = \frac{1}{2} \int x dx\]

Теперь найдем интеграл \(\int x dx\). Это интеграл от \(x\) по отношению к \(x\), и его результат будет:

\[\int x dx = \frac{x^2}{2} + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Таким образом, мы нашли первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\):

\[F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{4} + C\]

Теперь мы знаем \(F(x)\), и можем найти значение постоянной \(C\) с использованием информации о точке \(M(a, b)\), где \(a = 1\) и \(b = 3\):

\[F(1) = \frac{1^2}{4} + C = \frac{1}{4} + C = 3\]

Теперь решим уравнение относительно \(C\):

\[\frac{1}{4} + C = 3\]

Выразим \(C\):

\[C = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}\]

Итак, окончательная первообразная \(F(x)\) для функции \(f(x)\), проходящей через точку \(M(1, 3)\), будет:

\[F(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{11}{4}\]