Question

1) Докажите по индукции что : 2) Докажите что для любых действительных чисел a, b справедливо неравенство :

Answer 1

Если а-в=0 то получаем 0=0 что верно. Если а не равно в ,то (а-в) либо положительна либо отриц2ательна,но в квадрате ВСЕГДА положительна.слева получаем (а-в)²(а+в)²≥4ав(а-в)²  перенесем все  в левую часть и вынесем за скобки.   (а-в)²(а+в)²-4ав(а-в)²  ≥0
(а-в)²((а+в)²-4ав) ≥0 ,  (а-в)²(а²+2ав+в²-4ав) ≥0,(а-в)²(а²-2ав+в²) ≥0
(а-в)²(а-в)² ≥0, если а=в  ,то 0=0 ,если а не равно в , то в квадрате получится положительное число,которое всегда больше нуля!

Answer 2

Для начала, уточните, какую именно математическую индукцию вы хотите использовать. Обычно есть два типа индукции: математическая индукция в первом и втором порядке (индукция по натуральным числам и индукция по целым числам). Давайте рассмотрим оба варианта.

Индукция по натуральным числам (первый тип индукции):

1. Докажем, что для любого натурального числа n выполняется неравенство:

$2^n > n^2$

Базовый случай (n = 1): При n = 1 левая часть равна 2^1 = 2, а правая часть равна 1^2 = 1. Так как 2 больше, чем 1, базовый случай выполняется.

Индукционное предположение: Предположим, что неравенство выполняется для некоторого натурального k, то есть $2^k > k^2$.

Индукционный шаг: Докажем, что неравенство также выполняется для k + 1:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

По индукционному предположению, $2^k > k^2$, и теперь мы умножаем это неравенство на 2:

$2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2$

Теперь давайте докажем, что $2 \cdot k^2 > (k+1)^2$:

$2 \cdot k^2 > (k+1)^2$ $2k^2 > k^2 + 2k + 1$ $k^2 - 2k - 1 > 0$

Давайте рассмотрим это неравенство. Мы можем использовать квадратное уравнение $k^2 - 2k - 1 = 0$ и найти его корни:

$k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Корни равны $1 + \sqrt{2}$ и $1 - \sqrt{2}$. Поскольку $k$ - натуральное число, это означает, что $k > 1 + \sqrt{2}$, и $k > 1 - \sqrt{2}$. Следовательно, $k^2 - 2k - 1 > 0$ для всех натуральных $k$.

Итак, мы доказали, что если неравенство выполняется для $k$, то оно также выполняется для $k+1$, и, следовательно, оно выполняется для всех натуральных чисел $n$ по принципу математической индукции.

Индукция по целым числам (второй тип индукции):

2. Докажем, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

$|a + b| \geq |a| - |b|$

Базовый случай: Рассмотрим два случая - когда $a + b \geq 0$ и когда $a + b < 0$:

Случай 1 ( $a + b \geq 0$): Если $a + b \geq 0$, то неравенство превращается в: $a + b \geq |a| - |b|$

Теперь давайте рассмотрим два вспомогательных неравенства:

$a \geq |a| \quad \text{и} \quad b \geq -|b|$

Теперь объединим их:

$a + b \geq |a| - |b|$

Это неравенство верно, так как мы предполагаем, что $a + b \geq 0$.

Случай 2 ( $a + b < 0$): Если $a + b < 0$, то неравенство превращается в: $-(a + b) \geq |a| - |b|$

Теперь давайте рассмотрим два вспомогательных неравенства:

$-a \geq |a| \quad \text{и} \quad -b \geq |b|$

Теперь объединим их и умножим обе стороны на -1:

$-(a + b) \geq |a| - |b|$

Это неравенство также верно, так как мы предполагаем, что $a + b < 0$.

Таким образом, неравенств