Question

Найти общее решение дифференциального уравнения tgx*y"'=2y"

Answer 1

Решение в прикреплённом файле.

Answer 2

Давай решим это уравнение. Для начала, давай проведем замену переменных. Пусть $u = y'$. Тогда $u'$ будет равно $y''$, а $u''$ - $y'''$. Таким образом, уравнение примет вид:

$\tan(x)u''' = 2u''$

Теперь обозначим $\tan(x)$ как $t$:

$tu''' = 2u''$

Теперь предположим, что $u$ можно представить в виде $u = e^{mx}$. Подставим это предположение в уравнение:

$te^{mx}m^3 = 2e^{mx}m^2$

Теперь сократим $e^{mx}$ и $m^2$ с обеих сторон:

$tm = 2m^2$

Теперь решим это уравнение относительно $m$:

$2m^2 - tm = 0$

$m(2m - t) = 0$

$m = 0 \quad \text{или} \quad m = \frac{t}{2}$

Таким образом, общее решение для $u$ (или $y'$) будет:

$u = c_1 + c_2e^{tx/2} + c_3e^{tx}$

Теперь проинтегрируем это выражение трижды, чтобы найти $y$:

$y = \int u \, dx = c_1x + \frac{2c_2}{t}e^{tx/2} - \frac{4c_3}{t^2}e^{tx} + c_4$

Таким образом, $y$ будет общим решением данного дифференциального уравнения.